Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
либо 5 имеет о (X, Т)-плртное множество аналитических элементов и любой элемент в X можно аппроксимировать равномерно ограниченной сетью аналитических элементов.
Подчеркнем, что в этом случае для группы Ut выполняется оценка роста || Ut \ < Ме®\*\ и всякий элемент А ? X является пределом последовательности Ап аналитических элементов с Ия1|< М\\А\\.
В заключение остановимся на одном специальном свойстве С0*-групп и полугрупп, которым, вообще говоря, не обладают С0-группы или полугруппы.
Предложение 3.1.23. Пусть Со-полугруппа U в банаховом пространстве X имеет инфинитезимальный генератор 5. Тогда эквивалентны условия:
(1) A ?D (S);
(2) supo</sgi J (Ut— I) A \/t < +oo.
Доказательство. (1) =>¦ (2). Эта импликация верна для любых а (X, F)-непрерывных полугрупп. Выберем А ? D (S); для него
t
(Ut - /) А = j dsUsSA.
О
Таким образом,
t
II (Ut — /) А ||< j dsMe^ I SA II ^ Шер || SA ||
o
при t ? [0, 1 ].
(2) =*» (1). Единичный шар пространства X слабо* компактен. Следовательно, если
\\(Ut-I)A\\ „ ^
sup ------------= М < оо,
0</<1 1
то должна найтись такая сеть /а € (0, 1 ], что /а-> 0 и (Uta — I) Alta сходится лабой* топологии к некоторому элементу В ? X. Тем самым
!§2
3. Группы, полугруппы и генераторы
при всех г] ? X*. Но для tj ? D (S*) в таком случае
(С/; a-i)r\(A)
S*r] (А) = lim — — ——----------= Л(8)-
a.
Значит, А (= D (S**) П X = D (S) и В = S**A = SA.
Пример 3.1.24. Пусть Н— самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве ф и U = [U^— унитарная группа, порожденная iH, т. е.
Ut = exp {iHt}. Это не только С0-групна, но и Q-группа, поскольку § = ?>*. Поэтому г|) ? D (Н) тогда и только тогда, когда
|| (eiHt -И)г|з I , sup --------7-------< + оо.
<cr+
Пример 3.1.25. Пусть X = С0 (R) с sup-нормой. Сдвиги действуют как С0-группа U в X, и если / ? Си (R) абсолютно непрерывна и производная /' ?
? L°° (R), но /' ф. С0 (R), то
[| (W — /)/* II ^ sup sup | (x))/s |
S X
< ess. sup I/' (x)[=||/' 11^.
X
Таким образом, критерий предложения 3.1.23 удовлетворяется, однако / не входит в область определения генератора S группы U. Ведь D (S) = {/;/? С0 (R), Г ? С0 (R)}. Пример показывает, что для С0-групп условия предложения 3.1.23, вообще говоря, не эквивалентны.
3.1.3. Свойства сходимости
В предыдущих пунктах этого раздела мы исследовали вопрос
о существовании и построении различных групп и полугрупп, а теперь рассмотрим их свойства устойчивости. У понятия устойчивости имеется целый ряд аспектов, а именно аспекты, связанные со сходимостью, возмущениями, аппроксимациями и т. д. В этом и следующих двух пунктах мы соответственно изложим три разных подхода к проблеме устойчивости. Сначала займемся свойствами сходимости и применим их для обобщения приведенных ранее результатов, касающихся построения групп.
В пункте 3.1.1 было показано, что группа U = в банаховом пространстве X равномерно непрерывна тогда и только тогда, когда ее генератор 5 ограничен. Кроме того, мы видели, что две такие группы близки по норме тогда и только тогда, когда их генераторы близки по норме. Аналог этого результата позволяет характеризовать сходимость а (X, ^-непрерывных групп через сходимость резольвент их генераторов.
Теорема 3.1.26. Пусть Sn и S — генератору о (X, F)-непрерывных полугрупп Un и U в банаховом пространстве X. Предположим, что при некотором Р ^ 0 семейство
\e^Un,t\ t^O, п = 1, 2, . . ,}U{e-VUt-, t^0\
3.1. Теория для случая банахова пространства
193
равностепенно т (X, Р)-непрерывно. Тогда эквивалентны следующие четыре условия:
(1а) [(16)] linwoofM — S„)-4 = (XI — S)~lA, А ? X, в т (X, Р)-топологии при некотором X с Re X > р [равномерно по всем X с Re А, > Р + е];
(2а) [(26)1 Нш„^оо Un,tA = UtA, А ? X, в г (X, F)-mono-логии для всех t ? R+ [равномерно по i на любом конечном интервале из R+ ].
Доказательство. Ясно, что (26) =>- (2а) и (16) =>¦ (1а). Покажем, что (2а) =>¦ =s- (16) и (la) =s- (26).
Без ограничения общности можно считать р = 0, заменив, если необходимо, Un, t и Ut на иП'( exp {—$t) и Ut exp {—$t). Также отметим, что отображения 11—> Un< /А й 11—> UfA при всех А ? X, п = 1,2, .. являются т (X, /^-непрерывными, 'в силу следствия 3.1.8.
(2а) =?> (16). Из предложения 3.1.6 следует, что
ОО
(XI - S„)-1 А — (XI — S)-1 А = j dte~u (Un,' - Ut) A.
