Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
= (/ — aS)-1 + a (/ - aS)-i P (I - aT)'1.
Тем самым установлено, что
(/ — a (S + P)) (/ — aT)-1 = /.
Но предложение 3.1.6 показывает, что || (/—aS)'11| ^ Л4 (1—«Р)-1; поэтому выберем а так, чтобы
a||P||<||(/-aS)-i ||-i.
Тогда можно разложением в ряд убедиться, что оператор / — a (S + Р) обратим и обратный оператор ограничен; следовательно, (/ — aT)"1 — (I — a (S + + Я))"1, или Т = S + Р.
С*-случай: F = X*. Так как Р — оператор a (X, XJ-cr (X, Х*)-замкнутый и ограниченный, то по лемме 3.1.9 он сопряжен некоторому ограниченному оператору Р* в X*. Полугруппа U сопряжена к С0-полугруппе (/* в X,, и S, генератор U, сопряжен к S*, генератору U*. Предыдущие рассуждения позволяют утверждать, что S* + Р* порождает С0-полугруппу в X,, а по соображениям двойственности сопряженный оператор S+P служит генератором -полугруппы в X. Разложение в ряд для этой полугруппы получается «транспонированием» в X соответствующего ряда, построенного в X*.
Рассмотренная теорема демонстрирует устойчивость класса генераторов С0- и С0"полугрупп относительно возмущений ограниченными слагаемыми. Аналогичный результат для сжимающих полугрупп, разумеется, вытекает из теоремы 3.1.32. Однако у разложения в «зависящий от времени» ряд есть преимущества, и заключения теоремы 3.1.33 можно распространить на некоторые неограниченные возмущения. По сути дела от возмущения требуется только, чтобы был хорошо определен и сходился ряд для UP ¦ При этом может даже статься, что не выполняется условие теоремы 3.1.32 об относительной ограниченности возмущения, и такие ситуации оказались полезными для конструктивной квантовой теории поля. Другим примером, иллюстрирующим мощь указанного разложения теории возмущений, служит приводимый ниже результат, относящийся к диссипативным операторам в банаховом пространстве.
3.1. Теория для случая банахова пространства
203
Теорема 3.1.34. Пусть S — диссипативный оператор в банаховом пространстве X. Предположим, что существует возрастающая последовательность замкнутых подпространств Хп в X, такая что
U Xn<=D(S),
П
а замыкание U ,-Лп совпадает с X. Предположим еще, что существуют такие линейные операторы
Sn. т • D (S„, щ) = Хп I > Хп+т
и такие числа М, а > 0, что
IS \хп — Sni т I ^ Мпе~ат
при п — 1, 2, т = 0, 1, ... . Тогда U пХп является существенной областью определения для S и замыкание S оператора S оказывается генератором полугруппы сжатий в X.
Если вдобавок Sn> 0 диссипативны при всех п и
S„, т = §п+т, 0 \хп
при всех п, т, то
е^А = lim etSfl’ °А
П~> оо
для всех А ? U Хп равномерно по t на компактах.
Доказательство. С учетом леммы 3.1.14 и теоремы 3.1.16 для доказательства первой части теоремы достаточно показать, что множество (kl— S) (J пХп плотно в X при некотором 0. Из тех же утверждений следует, что можно отождествить S с замыканием его сужения на \JnXn. Если выполнены условия второй части теоремы, то
lim II S —S/j+m,o|x 11 = 0
m-> оо I' n n II
и нужное нам свойство устанавливается при помощи чуть усиленного варианта теоремы 3.1.28 (см. замечания и комментарии в конце главы).
Мы докажем теорему лишь для того, немного более простого, случая, когда
SXn с= Xn+i,
потому что здесь яснее идея доказательства. Переход к общему случаю заключается главным образом в добавлении дополнительных итераций в разложение теории возмущений (см. замечания и комментарии).
Введем новое обозначение Sn< 0 = Sn и, домножив S на соответствующий скаляр, добьемся оценки
Наблюдение (1). Оператор Sn — (п/2) I ограничен и диссипативен в Хп.
204
3. Группы, полугруппы и генераторы
Доказательство. Поскольку оператор S |х замкнут, он ограничен, а потому ограничен и S„. Пусть А ? Хп \{0}. Так как S диссипативен, то найдется / ? X* с ||/|| = 1, для которого / (А) = || А || и Re / (&4) ^ 0. Но тогда
Re / ((S„--?-/) Л) = Re/((S„-S) Л) + Re / (SA) - ~ ЦА ||
<4 М11 + 0-4- И1 = °-
В соответствии с наблюдением (1) можно заменить Sn на Sn — (п/2) I и считать, что все S„ диссипативны и
II ^ II ^ Л'
ts
Тогда е п образуют непрерывную по норме полугруппу сжатий на Хп при каждом п, и можно развить вариант зависящей от времени теории возмущений.
Для А ? Хт определим индуктивно
а<0) (А) = А, t
(Л) = j* dse^~'^ stn+iSo^ (Л),
о
t
