Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
А ? X, получим
ОО ОО
г) ((XI — Г)-М) = J dte~Mг) (UtA) = J dte~u (f/^) (А)
о о
= ((Н _ S*)-1r)) (А) = т) ((W-S)-i А).
Отсюда выводим, что (к! — T)~l = (kl — S)-1, так что Т = S, т. е. S — генератор Ut-
Теперь дадим обоснование второго алгоритма взятия экспоненты, приведенного в теореме.
Лемма 3.1.11. Пусть Т — ограниченный оператор в банаховом пространстве X с || Г [| < 1. Тогда
| (gn (г-/) _ 7«) а I < у п I (Г _ /) А ||
при всех А ? X и всех натуральных п.
Доказательство. Норма разности в левой части оценивается так:
2пт
__|| {Tm_Tn)A |
m I
0 m>0
Нетрудно с помощью неравенства Коши — Шварца получить теперь, что
ит \ 2
Л—2 п
п
m!
\m-
• п
п V* Я
2j^r(m-n)2
: П.
'т> 0 > т> 0
Комбинируя обе оценки, приходим к требуемому неравенству.
Доказательство теоремы 3.1.10 завершается теперь просто. Выберем А ? ? D (S) и в качестве Г в лемме 3.1.11 возьмем (I — tS/n)-1. Имеем
t
е« (l-iS/n)-* ^
Это позволяет утверждать, что
('~?Г
lim
П-»°о
= 0
при всех Л ? D (S) равномерно по t на компактах. Для требуемого заключения остается сослаться на равномерную ограниченность и плотность.
В случае F = Xt заметим, что D (S) инвариантно относительно Ut, и, как и в следствии 3.1.8, можно показать, что сужение Ut на D (S) сильно непрерывно. Существование пределов (в смысле сходимости по норме), задающих UtA
3.1. Теория для случая банахова пространства
183
при А ? D (S), выводится из С„-варианта теоремы. Слабая* сходимость для произвольных А вытекает из сильной сходимости к соответствующим пределам, задающим U*t г) при всех г) ? X*.
У теоремы Хилле—Иосиды есть вариант, применимый к произвольным а (X, /^-непрерывным полугруппам. Напомним, что семейство операторов |Та} называется равностепенно т (X, F)-непрерывным, если для любой полунормы рк, применяемой при задании т (X, /^-топологии, существует такая полунорма р^>, что
рк(ТаА) < рк. (А) при всех А ? X и всех а.
Следствие 3.1.12. Для всякого а (X, F)-a (X, F)-замкнутого оператора S в X эквивалентны условия (1) и (2) и эквивалентны условия (1а) и (2а):
(1) 5 — генератор а (X, F)-непрерывной сжимающей полугруппы \Ut\t^o в X, обладающей свойством равностепенной т (X, F)-HenpepbieHocmu\
(la) 5—генератор ст(Х, F)-непрерывной полугруппы U сжатий, для которой семейство {U'\t>o равностепенно т (F, Х)-непре-
рывно;
(2) | (I — ccS)-11 < 1 при а ^ О, и семейство {(/ — aS)^m; а ? [0, 1], т = 1, 2, ...} равностепенно т (X, F)-непрерывно;
(2а) I) (I — ccS)-1|| < 1 при а ^ 0, и семейство {(/ — aS*)~m-, а ? [0, 1 ], /п= 1, 2, ...} равностепенно т (F, Х)-непрерывно. В этих случаях
UtA = lim exp (/ — eS)-1} A =- lim (i —A,
E->0 rc-»oo ' n !
причем пределы существуют в т (X, Р)-топологии в случае (1) (<?> (2)) ива (X, F)-monoAozuu в случае (la) (<=>¦ (2a)).
Доказательство. Доказательство эквивалентности условий (1) и (2) совпадает с доказательством в случае F = X* в теореме Хилле — Иосиды, а эквивалентность (1а) и (2а) устанавливается по аналогии со случаем F = Х%. Единственное небольшое отлнчие в рассуждениях состоит в том, что оценки норм заменяются оценками для полунорм и вместо равномерной ограниченности применяется равностепенная непрерывность.
Теорема Хилле—Иосиды характеризует генераторы через свойства их резольвент (I — aS)-1. Теперь мы обратимся к другой характеризации для С0-полугрупп, в которой фигурирует понятие диссипативности.
Сначала напомним, что если А — элемент банахова пространства X, а цех* удовлетворяет условию rj (А) = fn || || А ||,
то л называется касательным функционалом к Л. Теорема Хана —
184
3. Группы, полугруппы и генераторы
Банаха гарантирует, что для любого А ? X существует по крайней мере один ненулевой функционал, касательный к А.
Определение 3.1.13. Оператор 5 с областью определения D (S) в банаховом пространстве X называется диссипативным, если для любого А е D (S) найдется такой ненулевой касательный к А функционал г), что
Re г) (5/4) < 0.
Для того чтобы пояснить происхождение этого понятия, рассмотрим сжимающую Co-полугруппу U с генератором S и допустим, что г) — касательный функционал к А ? D(S). Тогда | г] (USA) | с || л II II А I при всех s^O и, значит,
Re г) (USA) с Re г) (U0A),
