Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Проблема заключается в исследовании дифференциального уравнения
при различных дополнительных условиях и ограничениях. В каждом данном случае А будет соответствовать или наблюдаемой, или состоянию системы и будет представляться элементом некоторого пространства X. Функция
/6 R ^ At ? X
описывает движение А, а 5 — это оператор в X, порождающий бесконечно малое изменение А. Возможные динамики задаются решениями дифференциального уравнения, которые удовлетворяют некоторым добавочным условиям на рост и непрерывность. Существование «разумной»'некатастрофической эволюции системы эквивалентно существованию глобальных решений уравнения движения, удовлетворяющих физическим граничным условиям.
Три основных вопроса, возникающих в связи с такими решениями, — их существование, единственность и устойчивость относительно малых возмущений — будут рассмотрены нами при разных предположениях, однако всякий раз будет предполагаться, что пространство X банахово, a S — линейный оператор в X. Таким образом, мы начнем с изучения дифференциального уравнения в случае банахова пространства, не наделенного добавочной структурой. Вслед за этим мы введем в X структуру алгебры и будем считать S дифференцированием этой алгебры.
Формальное решение нашего дифференциального уравнения имеет вид Л,. = UtA, где IIt — exp |?S|, и мы займемся приданием
3.1. Теория для случая банахова пространства
169
смысла такой экспоненте. Независимо от способа, которым это будет сделано, можно рассчитырать на то, что U0 — единичный оператор, a UtUs = Ut+S, поэтому мы разыскиваем только решения с такими свойствами. Но поскольку возможны различные типы непрерывности отображения 11—>Ut , возникает их структурная иерархия. Мы изучим равномерную, сильную и слабую* непрерывности, при этом иногда будет налагаться условие || U11|<
< 1, где I • || обозначает норму ограниченного оператора в X, т. е.
|| S I = sup {|| ||; А е X, 1 А || = 1}.
Это ограничение на рост можно интерпретировать как закон сохранения вероятности или, возможно, ее диссипации. Тем самым рассматриваемые нами типы решений попадают в один из двух следующих классов:
либо U = представляет собой однопараметрическую
группу ограниченных линейных операторов в X, характеризуемую первым условием из определения 2.5.17, т. е.
Us+t = UsUt\ s, t ? R, U0 = /,
где / — тождественное отображение;
либо семейство U = {?/*lf?R+ определено только при t ^ О и представляет собой полугруппу, удовлетворяющую условиям
Us+t = ВД; s, t (j R+, UQ = I.
Если |J UtA |J = |J A || при всех t ? R или / ^ Rt, A ? X, to U будет группой (или полугруппой) изометрий. Если же выполняется соотношение || U11| с 1 при всех t ? R+, то Ut называется полугруппой сжатий. Отметим, что однопараметрическая группа сжатий автоматически является группой изометрий, так как
flf/Jcl, IL771! = 11^1 < 1.
Теперь мы рассмотрим группы и полугруппы с разными свойствами непрерывности,
3.1.1. Равномерная непрерывность
Теория равномерно непрерывных групп и полугрупп особенно проста. Ее основное содержание составляет
Предложение 3.1.1. Пусть — однопараметрическая
полугруппа ограниченных линейных операторов (Ut ? 2 (X)) в банаховом пространстве X. Эквивалентны следующие условия’.
(1) Ut равномерно непрерывна в начальной точке 0, т. е,
lim \\Ut — 11 = 0; t-> о
170
3. Группы, полугруппы и генераторы
(2) Ut равномерно дифференцируема при t = 0, т. е. существует такой ограниченный оператор S ? S? (X), что
lim I (Ut — I)/t — S || = 0;
*->o
(3) существует такой ограниченный оператор S ? Я? (X),
что
Если эти условия выполнены, то Ut расширяется до равномерно непрерывной однопараметрической группы, для которой
II Ut II < exp { 111 I S ||}.
Доказательство. Очевидно, (3) =>¦ (2) =>¦ (1), так что остается проверить
импликации (1) =>¦ (2) =>¦ (3). Для этого заметим, что при достаточно малых t
t
-f J*t/.
<1,
откуда следует, что интеграл
Xt = -у- J" dsUs
0
задает ограниченный оператор с ограниченным обратным. Далее, рассмотрим тождество
( h ) Х‘ = 1Т 1 ds (Us+h ~~ Us^
t+h
th J 5 th J s \ t t 0
Выражение в правой части равнЪмерно сходится к (Ut — I)lt при h> стремящемся к нулю, следовательно,
UH-I
iim
/i->0
/i
0.
Тем самым Ut равномерно дифференцируема, и мы даже нашли выражение для ее производной S в точке нуль:
5 =
(-V-W-
Исходя из этого равенства, выписываем интегральное уравнение
t
tV— / = S J" dsUs,
