Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 2.7.18. Фактор ЗЛ называют фактором типа I, если он содержит ненулевой минимальный проектор, и типа II, если он полуконечен и не является фактором типа I. Конечный фактор типа II называют фактором типа Пь а бесконечный —-фактором типа П,*,. Если ЗЛ не полуконечен, т. е. чисто бесконечен, то ЗЛ — фактор типа III.
158
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Легко получить полную классификацию факторов типа I.
Предложение 2.7.19. Если — фактор типа I, то изоморфен 2 (,§>) в некотором гильбертовом пространстве ?>. Тем самым размерность § является инвариантом, полностью характеризующим фактор типа I.
Определение 2.7.20. Фактор типа I называют фактором типа \п, если размерность соответствующего гильбертова пространства § из предложения 2.7.19 равна п.
Остается провести классификацию факторов типа II и III. Эту задачу можно свести к классификации некоторых полуконечных алгебр фон Неймана и их автоморфизмов (теорема Конна— Такесаки о двойственности).
Теорема 2.7.21 ([Так 2J, [Con 4]). Если Ш—собственно бесконечная алгебра фон Неймана, то существуют такая полуко-нечная алгебра фон Неймана 9? с точным нормальным полуконеч-ным следом т и такая а-слабо непрерывная однопараметрическая подгруппа <xt группы * -автоморфизмов алгебры Ш, что
%°at = е~*%, t? R,
и
ш = W*(W, а).
Другая пара (91°, а0) обладает этими свойствами тогда и только тогда, когда существуют изоморфизм у: и однопараметри-
ческое семейство Ut унитарных элементов в 91°, для которых
a°i(A) = Ui(yaty-1 (A))U*t.
Кроме того, центр алгебры Ш можно отождествить со стационарной при действии а подалгеброй в центре П 9^' алгебры 31. Пару (31, а) можно получить по данной ЗЯ, выбрав точный нормальный полукоыечный вес со н'аШи положив
3l = W*{3R, а"),
at = о? = дуальному действию R на W* (9Я, а“).
Доказательство. Доказательство основано на том, что группу аи и вес (о можно расширить единственным образом до группы внутренних автоморфизмов алгебры W* (ЭД1, а®) и веса на (9Л, а®), причем так, что расширенная группа оказывается группой модулярных автоморфизмов для расширенного веса. Применив затем теорему 2.7.17, получим след на 5ft и в заключение заметим, что если а является -группой автоморфизмов ЯК, то
2.7. Различные результаты и структурные свойства 159
Определение 2.7.22. Если Ш — фактор, то введем S (Ш) =
= Пш°(Дй>). гДе о(Аа>) — спектр Да, а со пробегает все нормальные полуконечные веса на 2К.
Множество 5 (3)1), очевидно, будет замкнутым подмножеством множества неотрицательных вещественных чисел. Первое из утверждений следующей теоремы прямо вытекает из теоремы
2.7.16.
Теорема 2.7.23 ([Con 4]). Множество таких t, для которых автоморфизм а“ внутренний, образует группу, не зависящую от нормального полуконечного eecajo. Для фактора Ш обозначим через Г (ЭЯ) Y-спектр любой модулярной группы автоморфизмов Ш. Тогда
Г (ЭИ) = log (S (ЭК)\{0}).
Эта теорема означает, что S (9К)\{0} оказывается замкнутой подгруппой мультипликативной группы положительных вещественных чисел. Следовательно, имеются четыре возможности:
(1) S(9R)= {1};
(2) S (SOI) = [0, оо);
(3) S (Ж) = {0} и {*", п ? Z), К е (О, 1);
(4) S (Ш) = {0, 1}.
Из теорем 2.7.17 и 2.7.23 следует, что (1) реализуется тогда и только тогда, когда Ш полу конечна, а (2)—(4) осуществляются в том и только том случае, когда ЭК — типа III.
Определение 2.7.24. Фактор Ш принадлежит к типу IIIj, если S (ЭЯ) = [0,оо). Если S (ЭЯ) = {0} + X2, 0 < X < 1, то ЭЯ— типа IIIi,, а если S (ЭЯ) = {0, 1[, то типа III 0.
Если фактор ЭЯ полуконечен, то пара \У1, а} из теоремы 2.7.21 имеет вид
= ЭЯ ® L°° (R), at = i ® сдвиг на t,
так что теорема не содержит интересной информации.
Однако для типа III получается следующий результат (вспомните, что а действует эргодично на 31 f] 3V = 3 (5Ю тогда и только тогда, когда 3R— фактор):
Теорема 2.7.25. Пусть 3ft — алгебра фон Неймана. Приведенные ниже пары условий эквивалентны:
(Ц) 2К — фактор типа 0 < X < 1;
(2*,) в {3 (Щ, а} действие а транзитивно и периодично с периодом — log Я,;
(10) 2Я — фактор типа Ш0;
160
2. С*-алгебры ц. алгебры фон Неймана
(20) система {3 (91), эргодична, но неизоморфна системе (L°° (R), сдвиги];
(li) 90?— фактор типа
(2J 91 — фактор типа
Специальный класс факторов, для которых известна почти полная классификация, составляют так называемые гиперфинит-ные факторы. Напомним, что фактор гиперфинитен, если он порождается возрастающей последовательностью конечномерных факторов, т. е. матричных алгебр; определение гиперфинитной алгебры фон Неймана аналогично. Для фактора указанное свойство эквивалентно порождаемое™ последовательностью конечномерных алгебр фон Неймана [ЕП 4], [ЕП 5]. Известно, что ги-перфинитная алгебра фон Неймана обладает свойством Томиямы Е, т. е. для 2R ? 3? (ф) найдется проектор Е:3? (ф) 3)1 нормы еди-
