Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
в *-алгебру. Однако в общем случае на ©,91; имеется более одной нормы с С*-свойством || А*А || = \\А ||2 и со свойством кросс-нормы || 0И«|| = Пг||Лг||. Для приложений полезнее всего С*-норма
2.7. Различные результаты и структурные свойства
153
на ОДь которая определяется следующим образом. Если (фг, пг) — точные представления алгебр 91г, то
II Ц ® A\k) = I Ц ® п( (A\k)) ;
II k i || к i
здесь в правой части фигурирует оператор из ;?>;)• Эта норма не зависит от конкретного выбора точных представлений яг. Пополнение ©Д; по этой норме называется С* -тензорным произведением алгебр ‘йi\ оно обозначается
1-1
Известно, что если все 2Сг, за исключением одной, ядерные (см. конец пункта 2.7.3), то построенная выше норма на яв-
ляется единственной С*-кросс-нормой [Lane 1].
Пусть {§„} — бесконечный набор гильбертовых пространств и — единичные векторы; рассмотрим множество конечных
линейных комбинаций элементов вида ®ata, где за ис--
ключением конечного числа индексов а. Можно построить бес-
конечное тензорное произведение пополнив это множество
по норме, порождаемой скалярным произведением
(<8> <8> ЛсЛ = П(1а> %)•
\ “ « ) а
Если Ша — алгебры фон Неймана в фа, то можно получить ®а“9Ла как слабое замыкание множества линейных комбинаций
элементов из ^(®а“фа) вида (&аАа, где Аа = за исключением конечного числа а. Возникающая алгебра фон Неймана существенно зависит от выбора последовательности {Qal [Ага 6], [Pow 1 ]. Если каждая будет фактором, то и тоже фактор. Доказать это можно, применив к состоянию
со (® Аа) = П (Qa, AaQ„)
\ а ) а
незначительно обобщенную теорему 2.6.10.
Если {-21а| — семейство С*-алгебр, то аналогичным образом можно построить бесконечное С*-тензорное произведение ®а^а как индуктивный предел соответствующих конечных подпроизведений. В этом случае ®аЭДа определено единственным образом (с точностью до неединственности конечных тензорных произведений, о которой шла речь выше). См. по этому вопросу [Gui 1 ], [Lane 1 ].
154
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
2.7.3. Веса на операторных алгебрах; самосопряженные конусы для произвольных алгебр фон Неймана; двойственность и классификация факторов;
| классификация С*-алгебр
В этом пункте мы перечислим ряд результатов, играющих важную роль в структурной теории операторных алгебр, но не оказавших пока заметного влияния на математическую физику. Доказательства либо не приведены, либо только намечены.
Введем обобщение понятия положительного линейного функционала.
Определение 2.7.8. Весом на С*-алгебре 21 называется функция со : 91+ —[0, оо ], удовлетворяющая условиям
со (Л -j- В) = со (Л) со {В), А, В ^ 91+,
оз {а,А) = асо (Л), a?R+, Л ? 91+
(с добавочным соглашением 0-оо = 0).
Следом на 91 называется вес со, для которого
со (Л*Л) = со (АА*), А 6 а.
Нетрудно доказать следующее
Предложение 2.7.9. Пусть со — вес на 91. Введем акт+ = мея+; со(Л)<оо),
= IЛ ? 91; со (А*А) < оо}.
Тогда является наследственным конусом в 91+,
т. е. конусом, обладающим свойством
о<А<вежа+=> Аета+.
Комплексная линейная оболочка множества Шыь является
* -подалгеброй в 91. Далее, 2Ы— левый идеал в 91 и
Вес со расширяется до линейного функционала (обозначаемого по-прежнему со) на Ша.
Так же как и в случае состояний, рассмотренном в теореме
2.3.16, можно снабдить предгильбертовой структурой, положив Л, В ? и-> со (Л*В). Имеет место
Теорема 2.7.10. Всякому весу со на 91 соответствуют гильбертово пространство § и два отображения т] : 2 т -*- § и я : 91 -»--»- 3? (ф), такие что л линейно, его образ плотен в ф, а я — представление 91 и при всех А ? 91, В, С ?
(г! (В), я (А) л (С)) = со (ВМС),
2.7. Различные результаты и структурные свойства
155
Далее, обобщим понятие нормального положительного функционала на алгебре фон Неймана.
Теорема 2.7.11. ([НааЗ], [Ped 2 ]). Пусть со — вес на алгебре фон Неймана 9Я. Следующие условия эквивалентны:
(1) если {Л г-| — последовательность в ЗЯ+ и И;Лг = А ? 9Я+, то со (А) — 2гсо (Лг);
(2) если \Аа\ — возрастающая сеть в 2>?+ и А = I. и. Ь.аАа ? ? Ш+, то со (А) = 1. и. Ь.„ со(Ла);
(3) если а-слабо сходящаяся сеть {Аа\ в 9Я+ имеет пределом А ? Ш+, то со (А) <1. и. Ь.а со (Ла);
(4)* имеется сеть |соа| положительных нормальных функционалов на ЗЯ, такая что со (А) = supacoa(^) для всех А ? 9Й+;
(5) имеется сеть {соа} положительных нормальных функционалов на 9Я, такая что со (Л) = 2асоа (А) для всех А ? ЗК+.
Определение 2.7.12. Вес со на алгебре фон Неймана называется нормальным, если он удовлетворяет любому из эквивалентных условий теоремы 2.7Л1. Вес называется точным, если для Л ? 9Я равенство со (Л) = 0 влечет Л = 0. Вес называется полу-конечным, если подалгебра является ст-слабо плотной в 9Я.
