Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
U За ? 3.
а
Для доказательства обратного включения рассмотрим морфизм я алгебры St, у которого ker я =3- Мы покажем, что при А 0 Ua3a также А 0 3- Допустим,
А<? UaSa. и пусть последовательность {Л,,} ? Ua2la такова, что Ап—> А.
Поскольку А 0 Ua3a> имеем
inf / || Л —ВЦ; В <= U За\ = е>0.
{ а I
Выберем N так, чтобы из п > N вытекало || Ап— А || < е/2. При я > N для Ап € Э1а„ И любого В ? Зап
||Л„-В||>||Л_В||-||Л- Л„||>е —-L = -1.
Но так как кег^я j ^ ^ = 3 П St a„ = 3a„> то ПРИ п > N, в силу предложедия 2.2.19,
IIл (An) II = inf | || Ап — ВЦ; В ? Эсип} 8/2,
142
2. С*-алгебры и алгеЬры фон Неймана
потому что норма на С*-алгебре я (Шап) будет одна и та же, если определять ее, считая я (St<x„) подалгеброй в я (St) или же считая ее образом канонического отображения St<xrti—> Stап/^ап (следствие 2.2.6). Так как я непрерывного п(А,)—у —> я (А). В частности,
|| я (Л) ||= lim || я (Ап) || > е/2,
П->оо
поэтому А ф. Q.
В приводимом ниже следствии дается общий критерий простоты. Его доказательство опирается на условия (1)—(3) определения 2.6.3.
Следствие 2.6.18. Пусть 21, {ЭДа}а?/—квазилокальная алгебра. Следующие условия эквивалентны.
(1) 91 проста;
(2) для любого а и всякого А ? 9(а \ {0} найдется такой индекс р ^ а, что идеал, порожденный А в 91 р, совпадает с 91р.
Доказательство. (2) => (1). Пусть (2) выполнено, но 3 — ненулевой идеал в St. Согласно предложению 2.6.17, существует такой индекс а, что Q (~| Sta Ф Ф {0}. Но из (2) следует, что при некотором f5 > а мы будем иметь Stp ? 3-Значит, Stv ? й при всех у > f5 и g = St, т. е. Щ проста.
(1) =t> (2). Пусть выполнено (1) и А ? Sta \ {0}. При f5 > а обозначим через Qp идеал, порожденный А в Stp. Ясно, что Qp образуют возрастающую сеть С*-алгебр и Q = Upxxgp— ненулевой идеал в SI, так как Эр' П Stp — идеал в Stp при f5' > (5 > а. Из (1) следует, что St = Q. Но тогда существуют Р > а и элемент В ? Зв, такие что || В — 11| < 1. Поскольку В обратим и 1] = = ВПВ ? Эр, то И ? 3 и Э = ЭИ = St.
Следующее следствие применимо, например, тогда, когда все 9ta — матричные алгебры или любые конечные факторы, либо когда 9ta— факторы типа III в сепарабельных гильбертовых пространствах (см. определение 2.7.18),
Следствие 2.6.19. Пусть 91, {9Xa|a ^,—квазилокальная алгебра. Если каждая алгебра 91„ проста, то и 91 проста.
Доказательство. Это немедленно вытекает из следствия 2.6.18.
Приводимое ниже следствие допускает обобщение на случай произвольных факторов Ша в сепарабельном гильбертовом пространстве, для которых Ша = \А ? Ша; о (А) = А\ при любом а будет бесконечной алгеброй фон Неймана (см. определение
2.7.15). Доказательство этого обобщения по существу то же, что и для приведенного нами варианта, но требует некоторой дополнительной техники.
Следствие 2.6.20. Пусть 91, |9ta}a^/—квазилокальная алгебра с а — I, и пусть 9la = Ша изоморфны 3? (фа), где фа — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство. В таком случае 91 проста.
2.7. Различные результаты и структурные свойства
143
Доказательство. Покажем, что можно применить следствие 2.6.18. Пусть А 6 \ {0}. Заменив А на А*А, можно считать, что оператор А положи-
телен. Рассмотрим Е — спектральный проектор А, отвечающий спектральному интервалу [[[ А (| \ 2, || А Ц]. Ясно, что Е =j= 0. Выберем Y и (5 так, чтобы у _L а и Р > -у V а- Установим теперь, что Е — бесконечномерный проектор в = = S’ (фр).
Для этого введем {Eit} ? 3? (фр) — полный набор матричных единиц для 2Jlv Е 3? (|)р). Тогда все • коммутируют с Е. В частности, ЕЕц — проекторы при всех i. Далее,
ЕЕ л --= ЕЕ jiEnE ij = Е ji (ЕЕц) Ei;.
Значит, если ЕЕц = 0 при некотором /, то ЕЕц = 0 при всех /. Но это невозможно, ибо Е = Е$ = 2гЕЕц. Таким образом, {ЕЕц} представляет собой бесконечный набор взаимно ортогональных ненулевых проекторов, которые мажорируются Е, и Е бесконечномерен. Следовательно, существует такая частичная изометрия W ? ,SP(@p), что
WEW* = 1.
Но так как А (|| А ||/2) Е, то
VZAW* >
Тем самым WA W* обратим, и идеал в Ш1р, порожденный А, должен совпадать со всей алгеброй ЯЛр.
Простота вытекает теперь из следствия 2.6.18.
2.7. Различные результаты и структурные свойства
В этом разделе предлагается обзор некоторых результатов теории операторных алгебр, которые важны либо для приложений в математической физике, либо для структурного анализа и классификации операторных алгебр (а следовательно, потенциально важны для приложений). Полных доказательств мы не приводим, но в ряде случаев даны указания и повсюду даны ссылки на соответствующую литературу.
2.7.1. Динамические системы и скрещенные произведения
