Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
А = А+ + А~, А±= Л-±-2а-(А)-\
При этом ст (А^-) — ±А±; четные элементы 1} ЗДе образуют С*-подалгебру алгебры 91, а нечетные элементы — некоторое банахово пространство 91°.
Теперь мы уже можем сформулировать определение квази-локальной алгебры.
Определение 2.6.3. Квазилокальная алгебра — это С*-алгебра 2Х вместе с такой сетью i9la}a?/ («локальных») С*-подалгебр, что во множестве индексов введено отношение ортогональности и выполнены следующие условия:
(1) если a ^2 (3, то э
(2) 91 = (J сДа, где черта означает равномерное замыкание;
(3) алгебры Яа имеют общую единицу 11;
(4) существует такой автоморфизм ст, что ст2 = ц ст (Яа) =
И [%а, Яр] = 10}, 1зй, ИЦ] = {0}, Ж, Я?} = 10}, если а ± (3;
здесь и Се обозначают множества четных
и нечетных элементов относительно ст. Мы применили обозначение
15 Ниже индекс е — от even (четный), индекс о — от odd (нечетный). — Прим. ред.
2.6. Квазилокальные алгебры
129
\А, В] = АВ + ВА для антикоммутатора. Частный случай описанной структуры получаем при а = i; тогда 91а = 91а и условие
(4) упрощается, приобретая вид
1Иа> %] = 10}
при а |3. В приложениях к квантовой механике а = i соответствует бозе-статистике, в случае ферми-статистики о Ф i.
Условие (3) можно было бы заменить более слабым условием, предположив, что каждая 91а содержит аппроксимативную единицу для 91, но такое обобщение приводит по сути дела только к усложнению обозначений. В приложениях к математической физике подалгебры 91а индексируются ограниченными открытыми подмножествами в Rv, упорядоченными по включению. Алгебра 91а интерпретируется как алгебра физических наблюдаемых для подсистемы, локализованной в области а конфигурационного пространства Rv. Квазилокальная алгебра 91 соответствует расширенной алгебре наблюдаемых для бесконечной системы. Состояние ы на 91 представляет физическое состояние системы, а числа а (А), со (В), ... отвечают результатам наблюдений А, В, ... Представление яи, йш) позволяет дать более подробное описание индивидуального состояния ы, и алгебра фон Неймана ям (91)" интерпретируется как алгебра наблюдаемых, соответствующих этому состоянию. Некоторые из подалгебр алгебры (91)" выделяются той важной ролью, которую они играют при изучении состояний на квазилокальных алгебрах. Среди таких подалгебр — центр Зю = ('Я)” П л(,3 (ЭД)', две другие подалгебры вводит
следующее
Определение 2.6.4. Если м — состояние квазилокальной алгебры 91, то коммутантной алгеброй Зш ассоциированного представления
(?ш. QJ
назовем
3?0 = П Ko№*)' П ЛШ(И)Г
а (Е I
и алгеброй на бесконечности — алгебру
Отметим, что Зш — действительно алгебра, в силу условия в) на множество индексов /. Далее, поскольку 91 квазилокальна И Зт = (?!)' П л» (Я)", то
Зи= П ("«ЛИ»)' П яш(Я)').
а 6 /
Отсюда легко получить, что Зш Е Зш-
130
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
С помощью теоремы 2.6.1 и теоремы Капланского о плотности мы немедленно заключаем, что следующие условия эквивалентны:
(1) Зм состоит из кратных единице элементов А,И ? S’ (§);
(2) всякому А ? 31 можно сопоставить такой индекс а, что
при любом В ? Яа П Я;
(3) всякому А ? Я соответствует такой индекс а, что | со (АВ) — со (А) со (В) | < {os (В*В) + со (ВВ*)\1/2 при всех В ? Я« П Я.
Теперь мы рассмотрим свойства алгебры За- При а Ф i свойство антикоммутативности приводит к ряду сложностей, и даже совсем не очевидно, что Зм s Зю, но это всё же так.
Теорема 2.6.5. Пусть со — состояние на квазилокальной алгебре. Алгебра на бесконечности Зш содержится в центре Зш ассоциированного с со представления; точнее,
Следующие условия эквивалентны:
(1) Зш состоит из кратных единице элементов;
(2) всякому А ? Я можно сопоставить такой индекс а, что
при любом В ? Яр и всех fi _L <х;
(3) всякому А ? Я соответствует такой индекс а, что
| со (АВ) — со (А) со (В) | < |со (В*В) + со (ВВ*)}'/2
при всех В ? Яр и всех |3 _L а.
Доказательство. Если 'определить как
Как только установлено включение Зщ — Зш — лш (31)’> эквивалентность указанных трех условий вытекает из теоремы 2.6.1 и теоремы Капланского о плотности (теорема 2.4.16). Поэтому займемся характеризацией Зи •
Прежде всего покажем, что из В ? Зш следует В ? яи (21е)". Поскольку В ? Зщ влечет В* ? Зш> То Достаточно будет ограничиться самосопряженными В. Рассмотрим множества (5 = (a, е), где а принадлежит множеству индексов /, векторы i|i]..............................\рп взяты из ?jm, а е> 0. Можно образовать
| со (АВ) - со (А) со (В) | < | яа (В)
| со (АВ) — со (А) со (В) I < 1 яш (В) 1
ТО
8i= П Ш^г.
