Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
а
2.6. Квазилокальные алгебры
131
направленное множество из таких р, полагая по определению: р! ^ р2 тогда и только тогда, когда sC a2, {%}pt <= {'4,i}p2 и ei > e2^ мы воспользовались обозначением ру = (ay, {^/Jp., &j)- Далее, введем сеть Вр, индексированную этим составным направленным множеством. Если р = (а, .... i|)„, р.), то
в е ( U пш(ят)У-
/
и из теоремы Капланского о плотности следует, что найдутся ?р, для которого
1 а, и Вр g па (Stvp), для которого Вр = В?, ||Вр|| < ||В|| и
|| (Вр - В) t; II < е
при i = 1, 2, ..., п. Тем самым сеть Вр сильно сходится к В, а так как || ° (В$) II — I Sp II II В ||, то существует подсеть Вр,, такая что a (Вр,) сходится слабо. Последнее утверждение обосновывается ссылкой на слабую компактность единичного шара в 3? (§ш) и предложение 2.4.2. Поэтому нечетная и четная части В?, элементов Вр, образуют слабо сходящиеся сети. Пусть С обозначает
слабый предел сети Вр,. Тогда
I Сг|) ||2 = lim Hm в^),
где оба предела берутся по одной и той же подсети. Но при фиксированном р' из этой подсети Вр, ? яи (9Цр,) и при достаточно больших р" элемент Вр„ принадлежит с "'’р'- Таким образом,
lim (г);, Вр,Вр„г);) = — lim (г|), Вр„Вр,г|)) = — (Сг|), В^.г)?) благодаря антикоммутативности нечетных элементов. Следовательно,
||Ct |р = -lim(Ci|>, Вр,г|>)= -||Ct||2 и С = 0. Отсюда мы делаем заключение, что В^, сходится слабо к В и
«е n(eU ».«))•¦
Но последнее множество содержится в поэтому
si = П (JJ "в (Ир)У = («)' п маег-
а \рха ' /
Свойства коммутативности для квазилокальных алгебр гарантируют, что Зш является подалгеброй в Зш- В общем случае также Зш е Зи- Для алгебр с несколько более богатой структурой и со специальным классом состояний можно показать, что эти центральные подалгебры окажутся совпадающими. Удобно исследовать алгебры с возрастающей сетью алгебр фон Неймана.
Определение 2.6.6. Пусть 9t, |ЗКа}а?/—квазилокальная алгебра, порождающая сеть которой образована алгебрами фон Неймана 3Jia. Состояние а» на 91 называется локально-нормальным, если нормально сужение а» на каждую 3Jia.
132
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
В приложениях к статистической механике 2JJa обычно изоморфна алгебре 9? (фа) в некотором фа. Если со локально-нормально, то, как показывает теорема 2.4.21, сужение со на всякую Ша будет определяться матрицей плотности ра в гильбертовом пространстве
со(Л) = Тг(раЛ), А ? Ша.
Тем самым со можно было бы задать семейством пар {?а, ра|. Отметим, что из соотношений включения 3Jfa ^ 2JJp, а < [}, последуют тогда некоторые условия согласованности на ра. Задание со парами {?>„, бывает полезно, потому что приходится иметь дело и с квазилокальными алгебрами, подалгебры которых не являются алгебрами фон Неймана, но изоморфны неприводимым С*-подалгебрам алгебры 9? (§„). Подчеркнем, что в этом случае всякое такое со имеет каноническое продолжение й, определенное на алгебре "Л, порожденной сетью \SB (%>a)}a?i алгебр фон Неймана, причем
а> (В) = Тг (раВ), В ? 2 (фа).
В приложениях к теории поля локальные алгебры являются факторами более сложного типа, поэтому большая часть дальнейших результатов применима лишь в ситуациях, встречающихся в статистической механике.
Лемма 2.6.7. Пусть 91, — квазилокальная алгебра>
порождающая сеть которой состоит из алгебр фон Неймана 3JJa, и пусть ‘со — локально-нормальное состояние, с которым ассоциировано циклическое представление (ф, я, ?2). Тогда зх | sjjj
нормально при каждом а.
Доказательство. Предположим, что Ау — возрастающая сеть положительных элементов из 501а, которая сходится к А ? Ша, а В ? Зйр, где Р > а. В таком случае В*АуВ сходится к В*АВ в ЗЛр. Так как со | ^ нормально, то
(я (В*) ?2, я (Ау) я (В) Й) = (й'(В*АуВ) -> со (В*АВ) = Р
= (я (В*) Й, я (А) я (В) й). Далее, U р я (5Ш^) Q плотно в значит, я (Ау) сходится к я (А), т. е. я | ^ нормально.
Для изучения локально-нормальных состояний очень существенна
Лемма 2.6.8. Пусть С* -алгебра 91 операторов в гильбертовом пространстве содержит алгебру фон Неймана 3Jt. Допустим, что существует а-слабо непрерывная проекция Е из 91" на ЗЛ' П 31", такая что Е (91) s 91. Тогда
20?' П Я" = (ЯГ П Я)'- '
2.6. Квазилокальные алгебры
133
Доказательство. Сперва заметим, что для всех А ? ЭК' П И" образ Е (А) = = А, так как Е — проекция на 3JT f| И". Заметим также, что (5Ш' П Я)" <= ? SJf' П И" и потому достаточно доказать обратное включение. Но если А ? ? ЭК' П Щ", то существует сходящаяся сеть {Ар} != Щ, такая что
А = lim Аа Р
