Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(4. l,S)®tll2=4 (5®^)
= /а„ (1 ® ?sa) (S ® Ли)
= ^„(11 ®?,х) /Q/Qo (4® Ли)
= (и> ® f2i) (4Е ® Ли)
= (^'44) ® г]12.
2.5. Модулярная теория Томиты—Такесаки и стандартные формы 119
Следовательно, ^ = U'Jg . Переходя к сопряженным, получим ^ = = JhU'\ Наконец, при \ ? ф
(JlM ® ^22 = JQo ® ’Ь)
= JQo (1! ® ?24) /ц/я0 (I ® ii12)
= (^' ® f2i) ® ’lai)
^(U’J.U'4) ® л.,,.
Таким образом,
J% = i/'Л ?/'*.
Si
Для всякой пары векторов |2, одновременно циклических и отделяющих для ЯЯ, будем обозначать через 0 (?2, 1х) унитарный элемент U' ? $№', полученный в лемме 2.5.35.
Лемма 2.5.36. Если |2 — циклические и отделяющие для 3)?, a V ^ Ж — унитарный элемент, то
0 (U%, = Ц'в (12, Si).
Доказательство. При А ? 2К имеем
SU'l,. ?,^i = A*U% = u'A*k = U'Sl2' %Alx.
Значит,
S,,,, t -U'Sr_ t
L- So. Si Si. Si'
Поэтому
•Vl2, Si = ii>
и наше утверждение вытекает из леммы 2.5.35.
Отметим, что из двух последних лемм вытекает, что 0 удовлетворяет цепному правилу
0 (|3, у - 0 (1Я, |2) 0 (l2, ?,).
Лемма 2.5.37. Если ? — циклический и отделяющий для 3JJ вектор, то эквивалентны следующие три утверждения'.
(I) 0(|, Q) И;
' (П) I 6 ^в;
(III) ^ - ^0.
Доказательство. (I) =>- (II). По лемме 2.5.35, если 0 (|, й) = И, то Jg =
— Jq = q = J. Следовательно, при /1 ( 3)1
(?, А/ (А) О) = (A*l, / (А) О)
= aAQ, JAQ)
= (УД^2Я,40, JAQ)
= (AQ, A^qAQ) > 0.
120
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Тем самым | принадлежит сопряженному к конусу, который совпадает с (II) =>- (III). Это — предложение 2.5.30, (2).
(III) =>- (III. Это тривиально.
(II) =*- (I). Если | ? ^Q, то при всех А ? Ш
0<(g, AJqAQ.)
= (А*5, 7В/Ш)
= (4 я-4^’ ^q-4Q)=(,4Q, q/1Q).
Следовательно,
(т1> •/qs1,Qt1)>0, ц ? D(Sha).
Согласно лемме 2.5.33 и предложению 2.5.9, сопряженным к оператору S^ Q является замыкание F^ q отображения
A'Q А'*1, А' е Ш'.
Поэтому для А ? 9Л
= ^?2 (^Я^й)* ?
= A*i = sltQAa;
здесь мы воспользовались равенством Следовательно,
$1, о Е ^я^|, яЧ
f-g, a S яЧ Я = яЧ
Но вполне аналогично и
так что Итак,
(,?Я'% а)* = S|, Я^Я = F%. Я^Я = Я-Нами установлено, что оператор JqSg а положителен и самосопряжен. Из един ственности полярного разложения следует, что Jq = й, поскольку а = = я)- Значит, 0 (I, Q) = I, по лемме 2.5.35.
Следующая лемма демонстрирует справедливость утверждения
а) теоремы 2.5.31 для некоторого плотного множества форм из 3№*+. В полном объеме указанное утверждение следует из этого частичного результата и оценки, содержащейся в теореме 2.5.31, б).
Лемма 2.5.38. Пусть л € § обозначает вектор, циклический и отделяющий для Ш. Существует единственный вектор \ ? & со свойством
(П, Ац) = (I, А%)
при всех А ? Ш.
Доказательство. Положим I/' = 0 (т), Q) и | = U'*x\. Так как U' — унитарный элемент из 9Л\ то
(т), Ач\) = (6, А\)
2.5. Модулярная теория Томиты—Такесаки и стандартные формы 121
при всех А ? SOT. Но по лемме 2.5.36
0 (I, Л) = 6 Й) = U'*0 (т|, Й) = И,
а лемма 2.5.37 показывает, что ? ? !?.
Для доказательства единственности предположим, что |' ? & и <В|, = Вектор ?' — отделяющий для SOT, поэтому он также циклический, в силу предложения 2.5.30. Тем самым элемент 0 (?', Й) определен. Поскольку Wg, = теорема 2.3.16 гарантирует существование такого унитарного U' ? 3JT, что = U'\. По лемме 2.5.36
0 (?', Й) = 0 (U'l, Й) = U'.
Так как ? &, то из леммы 2.5.37 следует, что U' = 11; таким образом, = |.
Лемма 2.5.39. Множество положительных форм со^, отвечающих векторам г), циклическим и отделяющим для Ш, плотно по норме в 2Я*+.
