Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Если ш ? 5ОТ*+, то, согласно теореме 2.4.21, <в имеет вид а> (А) = (?„, А%п), где 2„[||„||2 < оо. Каждый из векторов %п можно аппрокси-
мировать векторами вида А'пQ, где А'п ? ЯК'. Но при A ? SQI+
(л;й, лл;й) = (л1/2й, л;*л>1/2й)<|И,'г||2(«. ло).
Значит, множество положительных форм со, для которых
со (Л) а (Q, Лй)
при некоторой константе а, плотно в ЯЛ*+ по норме. Но по теореме 2.3.19 такие состояния имеют вид
ш (Л) = (A'Q, АА'Й),
где Л' Q Всякий элемент Л' ? ЯЭЦ можно аппроксимировать по норме обратимым В' ? ЯК1. Введем т] = В'Й и покажем, что этот вектор — циклический и отделяющий для ЯК'. Если Лг) = 0 при Л ? ЯК, то 0 = В’ ~ хАг\ = АВ' ~ ^ = = Лй, так что А = 0 и т] — отделяющий для ЯП. Если же A'i\ — 0 при Л' ? ? 2R', то А'B'Q = 0 и Л'В' = 0. Обратимость В' означает, что Л' = 0 и вектор т] — отделяющий для Ш', а следовательно циклический для ЯП, согласно предложению 2.5.3.
Теперь мы займемся оценкой, указанной в теореме 2.5.31. Сначала нам потребуется следующая
Лемма 2.5.40. Обозначим §sa = & — ?Р, — ЗЯ+ — Ш?+.
Отображение Ф: 2Jisa > §sa; А н-> является порядковым
изоморфизмом Шъя на множество таких ? ? §sa, что
—aQ < ? <
при некоторой константе а > 0 (отношения порядка индуцируются соответственно конусами ЗЯ+ и 53).
Доказательство. Из предложения 2.5.26 вытекает, что Л ? ЯП+ =^Д*/4ЛЙ ? ? S'. В обратную сторону, если Л = Л* и Д1,/4ЛЙ ? ЗР, то при любом А' ? 501 (Л'Й, ЛЛ'Й) = (Л'М'Й, AQ)
= (д~1/4|лТй, Д1/4Лй)> 0.
Следовательно, А >• 0.
122
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Таким образом, Ф: 9Ksa -> Ф (sDlSa) — порядковый изоморфизм. Покажем теперь, что Ф непрерывно относительно а (2К, ЭЛ*)-топологии в Ш и ст (•§, Jp)-топологии (т. е. слабой топологии) в ф. При A ? Ш имеем
(И + Д1/2)ЛЙ = AQ + JA*Q,
так что
АО. = (11 + Д 1/2)-VQ -f JA*0)
И
А1/4 ЛЙ = (А,/4 + А “1/4)-1(ЛО -f JA*0).
Следовательно, при г] ? §sa
(г|, А1/4ЛО) = ((Д1/4 + А~1/1)-1г1, АО -(- /Л*Й).
Так как |[ (Д1^4 Д 'Z4) 1||^1/2, то утверждение о непрерывности проверено.
Далее, предположим, что —aQ <; ? ^ aQ. С помощью надлежащей нормировки можно добиться, чтобы 0 | Q. Положим
In = fn(log A) g,
где^/nW = e~x2^n2. Тогда ПРИ всех Р ? С, 'и по предложению
2.5.26, (3)
О <: 1п = fn(log A) I < /«(log Д) Q = Q.
Теперь для любого А' ? 331
(А-1/4!,г, Л'й) = Й„, Д-^Л'О^О, так как Д~1/4А'0 ? Значит, в силу предложения 2.5.27,
Сходным образом находим, что
q - л~г/% = а-1/4 (Q - ы е
так что для А’ ?
0<(Д”1/4^, 4'Q)s?(Q, А'О).
Поэтому, согласно предложению 2.5.27, (1), существует оператор Ап ? SDi со свойствами 0 ^ Ап < И и
= АпО.
В результате мы выводим, что %п ? 58, где
$ = {Ф(Л); Л<=ЯЯ5а, 0<Л<1]}.
Так как множество {А; А ? 50lsa, 0 ^ Л < И}, очевидно, ст-слабо замкнуто и потому является a-слабо компактным подмножеством в ЯК], а Ф действует
о (ЯК, ЯЛ*)-а (§, §)-непрерывно, то 33 также ст (§, §)-компактно. Таким образом, | = Нт„1п ? 33-
Лемма 2.5.41. Для ?, т] ? &
15 - П f < I <»5 - <»„ I < 11 — г) ЩИ + г) ||.
Доказательство. Второе неравенство верно при всех S, т] (: ©> поскольку (ш? - (Oyj) (Л) = -L 1(1 - п, Л (I + Г])) + (I + Г], Л (I - Г]))].
2.5. Модулярная теория Томиты—Такесаки и стандартные формы 123
Для доказательства первого неравенства предположим вначале, что ? + + г) — циклический и отделяющий вектор. Этот вектор лежит в &, поэтому,
в силу предложения 2.5.30, (2), ^|+11 = Ф, Далее,
—(I + Л) < I — Л < (S + л).
Тем самым можно воспользоваться леммой 2.5.40, взяв ? -)¦ т) в качестве ?2,
и убедиться в существовании такого А = А* ? , что
-Ui< 1]
и
I _ ц = д У^А (? + л).
Следовательно,
IIм! — “nil > (“I - “п)И)
= (5, А?)-(л, Лт|)
= Re (Е_ п, А (1 + 7]))
= (Б-Л. (S-л)).
А так как J (| — т)) = ? — л и Jто
(| - т), А^4 (I - т|)) = (| - т), (I - 11)).
Таким образом,
II ~ “nil ^ ~ Т)’ ~2~ (Д№1 + Д?+Л ) ~ т'))
»II ? - л II2.
иб° тК+п + ^+О1'
В случае произвольных ? и т] из !? можно подобрать такие последовательности АВ'п ? целых аналитических элементов для а',что ?п = Д“1//4Л 'tfl—> ~?> Л;! = А’^'йдй—>• Л- Прибавив, если необходимо, е;!И к А'п, Вп , можно считать, что А’п >8П1] > 0 и В'п _> в/г Ц > 0. Но тогда А'п + В'п > 2е;1И и, значит, A'j ± обратимы. Следовательно, обратимы Д”1^4(А'п -)- В’п) Д1^4? 9Я\ поэтому ?я + л,г = Д—1/4 (Ап -\-В'п) Й будут отделяющими ициклическими для 5Ш. В результате получаем
