Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
и, следовательно,
А = Е (А) = lim Е (Лн),
Р
в силу первого замечания и a-слабой непрерывности Е. Но ? (Ар) ? SOI' П St. так что А ? (9JT Л %¦)"¦
Воспользовавшись этой леммой, можно сразу получить утверждение о совпадении Зю с центром.
Предложение 2.6.9. Пусть 91, j Ша\а g 7 — квазилокальная алгебра с порождающей сетью алгебр фон Неймана Ша, и пусть со — локально-нормальное состояние на 91. Предположим, что при любом а ? / алгебра Ша изоморфна 9? (Spa) в некотором $а. При таком условии совпадают центр За, и коммутантная алгебра Зш ассоциированного с со представления, т. е.
За» - П (M3R«V П *«,№)" = Зо>-
а
Доказательство. Выберем множество матричных единиц {Ец} для ЗЛа и зададим проекцию Е на 3? (§>ш), полагая
Ё (В) = J] яш (Еп) Вяю (?,,).
i
Свойства матричных единиц гарантируют сильную сходимость ряда в правой части. Поскольку ^со J sjjj нормально (лемма 2 6.7), тп 2,яm (?,:,•)—" я(0 (11) =
Е (в) = ? яп> (Еп) о (Еи) = В'
i
для В ? яш (ЭКа)\ и для любого В ? 3? (?)(0) мы имеем Е (В) ? яю ($Ша)\ так как
Е (В) яш (?,/) = яи (Ец) Е (В) ят (Еи) = ят (?,-,-) Е (В).
Кроме того, если 91 — любая алгебра фон Неймана, для которой яш (ЭЛа) S
? 31 ? 3? (§>J, то Е (31) Е 91. Следовательно, Е (ям (SOijj)) <= ям (ЗКа)' П
П ям (ЯЛр) при Р > а. Поскольку Щ порождается алгебрами ЯКр в равномерной топологии, можно сделать вывод, что Е (ям (Щ)) ? (Щ) и Е (я^ (21)") ?
? яш (3»a)' П (И)". Значит, можно применить лемму 2.6.8, и
3(0 - П ("со (ШаУ П (Щ")
= П (яи(Я»«)' n%W)'=BCr
134
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Теперь мы опишем ситуацию, в которой Зю = Зш- Доказательство равенства этих двух алгебр опирается на совпадение алгебр фон Неймана, порожденных f| 31 и (J р±а9Ир. Первая алгебра соответствует наблюдаемым, постоянным относительно наблюдений в области с индексом а, а вторая соответствует наблюдаемым вне а. О совпадении этих двух алгебр часто говорят как о свойстве дуальности. Дуальность играет важную роль при анализе статистик в теории поля.
Следующий результат о равенстве Зш = Зш относится к случаю систем с cr = I. Более сложный случай а Ф i также может быть изучен (см. замечания и комментарии в конце главы).
Теорема 2.6.10. Пусть 31, {ЗИа}а(Е/ — квазилокальная алгебра с а = 4, порождающая сеть которой образована алгебрами фон Неймана Ша, и пусть со — локально-нормальное состояние 31. Предположим, что Ша изоморфны 3 (фа), Ша U порождают SWavP в слабой операторной топологии и для любой пары а, р можно указать индекс у _L а, такой что ?> с у V а- Тогда для ассоциированного циклического представления совпадают центр Зю и алгебра на бесконечности Зш- Кроме того, эквивалентны следующие условия:
(1) Зш (=3ш) состоит из операторов, кратных единичному, т. е. со — факторное состояние;
(2) для любых заданных а и в > 0 найдется такой индекс а', что
| со (АВ) — со (А) со (В) I < е || А || || В ||
при всех А ? Ша, всех В ? Шр и всех р Л. а';
(3) для любых заданных а и е > 0 найдется такой индекс а', что
| со (АВ) — со (А) со (В) | с е || А || |со (В*В) + со (ВВ*)\1/2 при всех А ? Ша, всех В ? 3% и всех р а'.
Доказательство. Построим проекцию Е по аналогии с доказательством предложения 2.6.9. Сделанные выше предположения позволяют заключить, что А ? ? (Щ)" имеет вид
(Nv
А lirn I яи (А.^ ,•) i)
v 4=i
где предел понимается в сильной операторной топологии и
ау> i е аКа. By<i ? и
Р±а
Но если А ? яы (SDta)' П (St), то Е (А) — А и
2.6. Квазилокальные алгебры
135
потому что Ayt i ? означает, что Е (яш (Л.^,-)) будет кратен единице. Значит,
вытекает условие (2) теоремы 2.6.5, так как ЗКа порождают Й в равномерной топологии и яш| точны, поскольку они нормальны,' а ЗЯа— факторы (предложение 2.4.22). Применив эту теорему, убеждаемся, что (2) =$¦ (1). Остается доказать импликацию (1) =$¦ (3). Сужение со на 9Ка определяется матрицей плотности ра, и при б> 0 можно выбрать проектор конечного ранга Е ? 3? (®а)« для которого
Пусть Е обозначает также образ этого проектора в яш (ЗКа). Если А ? 2Яа, а В ? с a J_ р, то
со (АВ) = со (ЕАЕВ) + со ((11 — Е) ЛЕВ) + со (BEA (I — ?)) +
(Это следует из перестановочности В и ЕА (11 — Е). вытекающей из квази-локальности нашей алгебры.) Отсюда
Но так как ранг ? в конечен, у алгебры ЕШЕ конечный базис, поэтому, по теореме 2.6.5, можно выбрать а' так, чтобы
sup | со (ЕАЕВ) — со (ЕАЕ) со (В) [ < б {ш (В*В) + ш (ВВ*)}1/2 li А ||—1, л ?
