Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
В обоих рассмотренных случаях действие G на скрещенном произведении называется двойственным (или дуальным) действием к исходному действию G на алгебре.
Воспользовавшись каноническим погружением St (Ш, G) в W* (Эй, а), нетрудно показать, что определения дуального действия по существу одинаковы в С*-случае и в W* -случае.
Теперь можно охарактеризовать W*-динамические системы, опираясь на понятие дуального действия на скрещенном произведении. Изоморфизм между W*-динамическими системами {ЭЛ, G, а\ и \У1, G, Р} определяется, разумеется, как такой *-изоморфизм у между ЭЛ и Э1, что yat = при всех t ? G. Самой простой из теорем в этом направлении является следующая.
Теорема 2.7.4. ([Land 1], [Nak 1]). Пусть {Эй, G, а} — произвольная W*-динамическая система с абелевой G. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
(1) существует такая W*-динамическая система {9J, G, |3}, что
{№* (Я Р), с, Р1
изоморфна {9Й, G, а};
(2) существует такое сильно непрерывное унитарное представление U группы G со значениями в Ш, что at (Uy) = <7, t) Uy.
Алгебра Щ в (1) изоморфна ЗЯа = \А ? Ш; at (А) = А
V t? G\.
Доказательство. Строгие доказательства этих утверждений длинны и утомительны, и они не более проясняют ситуацию, чем формальная аргументация, опирающаяся на основные положения абелева гармонического анализа. Поэтому мы ограничимся формальными рассуждениями.
1) (2). Это немедленно следует из определения дуального действия, если
взять Uy=X (у).
(2) =4» (1). Введем
ЭД = {Л е 1; а/ (А) = и, более общим образом,
Щ = {А ? ЯК; а, (Л) = <y, t)Ayt? G).
2.7. Различные результаты и структурные свойства
149
Ясно, что Шиу ? и — 5ft. Тем самым 3^ = 9Wy. Также U^SIU' —
= 5Я, так что можно задать действие (5 группы G на SJt формулой
Py(A)=UyAU*r
Теперь определим изоморфизм т] между {5Ш, G, а} и {W* (У1, Р), G, (3), положив
Л ^ ? Aiuvi^j = nf>(Ai) ь (тг).
где At ? У1 = Ша-
Отметим, что из (2) нельзя убрать предположение о том, что Uу образуют представление, т. е. UVtUy2 = UytVi. Это показывает пример, в котором Ш = 2 (L2 (R)), G = R2 и
at, s (А) = U (t)V(s) AV (s)*U (/)*,
где U (t) ? (h) = I (h — t), V (s) ? (h) = eish ? (h). В таком случае U (t) V (s) = eistV (s) U (t). Легко видеть, что (t, s) ? R2 attS — непрерывный гомоморфизм группы R2 в Aut (Ш) и
Ж = Ша = СИ.
Таким образом, 31 (gipR2 = L°° (R2), что неизоморфно 2 (L2 (R)) ни . при каком действии |3 на 31. Далее, при и, v ? R введем W (и, v) = U (—v) V (и). Тогда
atiS (W (и, v)) — е' (tu+sv)w но унитарные элементы W (и, v) не определяют представления
группы R2 = R2. В ряде случаев от требования UytUy2 = t/VlV, отказаться можно, например, если Ша собственно бесконечна (см. определение 2.7.15) и G сепарабельна [Так 2], [Con 2]. Можно также обобщить понятие скрещенного произведения, введя «кососкрещенное произведение» и заменив групповое свойство U некоторым «свойством быть коциклом» [Zel 1], [Robe 1].
Следующим из доводов в пользу введения скрещенных произведений служит необходимость построения специальных операторных алгебр. В физике алгебра квантовых наблюдаемых часто получается нз абелевой алгебры классических наблюдаемых с помощью процедуры, напоминающей построение скрещенного произведения с группой, порожденной множеством наблюдаемых р, «сопряженных» с классическими наблюдаемыми q [Ага 5], [Heg 1 ].
Теперь мы изучим один особенно простой случай скрещенного произведения, позволяющий тем не менее выяснить многие общие •свойства. Пусть G — конечная абелева группа, а 'И — конечномерная абелева С*-алгебра, т. е. 91 = С (X), где X — конечное множество с дискретной топологией. Тогда действие а группы G на 91 индуцирует действие т на X (характерах G): (aj) (х) =
150
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
— / (т8 (*))• Легко проверить, что X распадается при этом действии на непересекающиеся орбиты Xlt ..., Хп группы G, т. е. всякая Xt имеет вид {rg (xt); g (L G\ при некотором xt ? X. Для каждого i определим Gt ~ \g ? G; gxt = xt\; тогда G; — подгруппа в G, зависящая только от Х;, с точностью до внутреннего автоморфизма G. Действие G на Xt изоморфно действию G на gGi. В качестве полезного упражнения предлагается показать, что
С* (С (X), а) = ® (L2 (Xt)) ® L“ (Gt))~ W* (L°° (X), а).
i~ 1
Следовательно, для того чтобы скрещенное произведение оказалось простым, или, эквивалентно, фактором, или полной матричной алгеброй, необходимо, чтобы X содержало лишь одну орбиту, т. е. действие ос должно быть эргодичным и для любого х ? X из gx = х должно вытекать g = е. Последнее требование означает, что действие должно быть свободным. Этим оправдывается следующее
Определение 2.7.5. Для С*- или W*-динамической системы {91, G, а} с абелевой 91 назовем действие а эргодичным, если 91 не содержит нетривиальных замкнутых двусторонних глобально а-инвариантных идеалов. Действие свободно, если для любых g Ф ей А >0 можно указать такой В, что А ^ В > 0 и ag (В) Ф
