Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Rk (XI — S) А = (XI — S) R}A = А
при A Q D (S). Тем самым X ? г (S) и (XI — S)-1 = R%¦ Из о (X, F)-a (X /•^-непрерывности (XI — S)"1 вытекает а (X, F)-a (X, F)-замкнутость XI — S, а потому и S. Далее, для любых А ? X и т] ? F получаем, воспользовавшись теми же рассуждениями, что и в доказательстве предложения 2.5.22:
lim т] (nRnA) = т] (А).
П >оо
Принимая во внимание, что D (S) = R (Rn) = R (nRn), видим, что D (S) плотна в X в а (X, /^-топологии. Наконец, при т] ? F, А ? X
ОО
I Л (RiA) | < j * I Re й. [ | т, (?/жЛ)
О
ОО
< j s<Re^ IIГ7 J| IIAII^M (ReX-P)-1!! rj Ц ЦАц, о
иначе говоря, [[(Я/ — 5)_1 [| ^ М (Re Я— Р)-1. Отсюда вытекает оценка, указанная в предложении.
Слегка видоизменив предыдущие рассуждения, можно получить следующее утверждение, которое часто полезно иметь в виду.
Следствие 3.1.7. Пусть S — генератор а (X, F)-непрерывной полугруппы U в банаховом пространстве X. Пусть D — подмножество в D (S), области определения S, которое а (X, Р)-плотно в X и инвариантно относительно U, т. е. UtA ? D при всех А ? D и t ? R+. Тогда D — существенная область определения S, т. е. а (X, F)-a (X, Р)-замыкание сужения S на D совпадает с S.
Доказательство. Обозначим через S замыкание S, суженного на D. Если при некотором Я с Re Я ;> (5 окажется, что R (Я/ — S) = X, то из предложения
176
3. Группы, полугруппы и генераторы
3.1.6 последует S = S. При А ? D можно аппроксимировать интегралы рима-новыми суммами
? И)= 23 e~UiUtiA(ti+1-ti),
N ?=1
N -U
2] «я/ - s) л) = 23е a (tM -to,
N i=l
которые одновременно сходятся к (XI — S)"1 А к А соответственно. Но вследствие инвариантности D относительно U имеем 2дг (A) ? D и
(Я/ — 5) ? (Л) = 23 ((Я/-5) Л).
N N
Тем самым 2Л, (Л)—у (XI — S)'1 А и (Я/ — S) 2дг (А)—»¦ Л. Поэтому Л ? ? ^ (Я/ — 6’)при каждом А ? D. Поскольку (Я/ — S)”1 обладает cs(X,F)-ст (X, /^-непрерывностью, множество R (Я/ — S) будет ст (X, /^-замкнуто. Таким образом, R (XI — S) = X, ввиду плотности D.
При некоторых добавочных условиях с помощью предложения
3.1.6 можно получить, что из 0 (X, /^-непрерывности полугруппы U следует ее непрерывность в т (X, /-^-топологии (топологии Макки). Таким добавочным предположением является требование равностепенной непрерывности, которое означает существование такого Р', что для всякого a (F, X)-компактного подмножества К = F подмножество
К' — т] ? К, i^sO\
имеет о (F, Х)-компактное замыкание. Вновь Ut обозначает сопряженный с Ut оператор, действующий в F. Если F = X*, то условие равностепенной непрерывности выполняется автоматически. Достаточно выбрать Р' и М так, чтобы || Ut |] < М exp {P'f}, тогда а (Х*Х)-компактность К' последует из теоремы Алаоглу— Бурбаки. Другой пример, когда условие равностепенной непрерывности выполнено, соответствует выбору столь большого Р', что
I 11 —> О
при t-+ оо, и отображение т}: t\—>U*r\ предполагается непрерывным по совокупности переменных в 0 (F, Х)-топологии.
Чтобы сформулировать общий результат о совпадении свойств непрерывности, удобно ввести понятие равностепенной т (X, F)-непрерывности. Семейство \Та} операторов в банаховом пространстве X называют равностепенно т (X, F)-непрерывным, если для всякой полунормы рк, фигурирующей в определении v (X, .F)-топологии, найдется такая полунорма р^, что
Рк(ТаЛ) < рК'(А) при всех А ? X и всех а.
3.1. Теория для случая банахова пространства
177
Упомянутый общий результат таков:
Следствие 3.1.8. Пусть о (X, F)-непрерывная полугруппа U в банаховом пространстве X имеет генератор S. Предположим, что найдется такое Р' 0, что семейство {Ule~V’t\t7.0равностепенно х (X, F)-непрерывно. В таком случае 1i—> Ut будет х (X, F)-непрерывной, и если А ? D (S), то
Пш 0WM_ = SAt
t-* о 1
где предел понимается в х (X, F)-топологии. В частности, всякая слабо непрерывная полугруппа сильно непрерывна, и ее ела-бый и сильный генераторы совпадают.
Доказательство. При всех А ? D (S) и г) ? F
г] (UtA-UtA) = j dsri(^).
Следовательно,
t 2
| UtA ~ Ut A (j < M || SA || j dte^;
ti
существование таких M и Р вытекает из предложения 3.1.3. Значит, t\—> UjA сильно непрерывно при А ? D (5). Далее, если А ? D (5) и В ? X, то
Рк ЦУи ~ ип)в) < - vt.)А) + рк (utSB ~ АП + Рк (иЛв ~ л))
< I Рк I II ^и) АII + Рк, (В - А).
