Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
eix = lim (I — txlri)~n,
ПНЮО
применяемый для числовых функций, может быть распространен и на операторные функции при условии, что «резольвента» (I —
— tS/n)~n обладает подходящими свойствами. Определить резольвенту замкнутого оператора 5 удается, если располагать информацией двоякого рода. С одной стороны, надо знать, что область значений оператора / — tSln совпадает со всем пространством, чтобы быть уверенным в том, что (/ — iS/n)-1 всюду определен, а с другой — нужна ограниченность | (I — tS/n)~n |. Для дальнейшего полезно четко разграничить два этих независимых свойства.
180
3. Группы, полугруппы и генераторы
Теорема 3.1.10 (теорема Хилле—Иосиды). Пусть S—оператор в банаховом пространстве X. Если F = X* или F = X*, то следующие условия эквивалентны:
(1) S является инфинитезимальным генератором о (X, F)-непрерывной полугруппы сжатий U;
(2) 5 определен а (X, F)-плотно и о (X, F)-g (X, Р)-замкнут. При а^гО
(| (/ - а S) А [[ ^ [Л |[, А 6 D (S),
и при некотором а > 0
R (/ - аS) = X.
Если эти условия выполнены, то полугруппа определяется по генератору S посредством любого из предельных переходов
UtA = lim exp \tS (/ — eS)-1} A
?->0
= lim (/ — tS/n)~n A,
п-> co
где экспонента ограниченного оператора S (I — eS)"1 определяется как сумма соответствующего степенного ряда. Пределы существуют в а (X, F)-топологии, сходимость равномерна по t на компактах, а если А принадлежит D (S), замыканию D (S) по норме, то пределы существуют в смысле нормы.
Доказательство. В предложении 3.1.6 установлена импликация (1) (2).
Для доказательства обратной импликации мы построим полугруппу, применив первый из алгоритмов, указанных в теореме. Из условия (2) следуют ограниченность оператора (/ — eS)-1 и его а (X, ^-непрерывность, а также оценка || (/ — eS)'11| ^ 1 в точке е = а0, в которой R (I — а0S) = X. С помощью разложения в ряд Неймана выразим возмущенный оператор (/ — aS)~x через (I -a0S)'h
п 3=0
Отсюда видно, что R (I — eS) = X при всех е > 0.
Теперь рассмотрим порознь случаи С0- и С„*-полугрупп, т. е. случаи F = = X* и F= X*.
С0-случай: F = X*. Сначала введем оператор SE = S (/ — eS)-1 и с помощью соотношения Se = —е-1 (/ — (/ — eS)'1) получим, что
3.1. Теория для случая банахова пространства
181
при / 0. Тем самым = exp j/SE| образуют равномерно непрерывную сжи-
мающую полугруппу. Вдобавок ограниченные операторы SE и Sд коммутируют и при всех t > 0
1
Иа-^аЦ =
1
t j dse
о
Теперь заметим, что при А ? D (S)
|| (I - eS)“i А — Л || = е|| (/ - eS)“> SA ||< e||SA II.
Следовательно, равномерно ограниченное семейство операторов (/ — t\S)‘1 сильно сходится к единичному оператору на плотной множестве D (S). Но тогда это семейство сильно сходится к единице, и из соотношения
(SE — S) А = ((/ — eS)'1 — I) S/1
вытекает, что Se<4 сходится по норме к 5Л при всех А ? D (S). Воспользовавшись (*), мы заключаем, что {UfA }?>0 сходится по норме, и притом равномерно по t на компактах, если А ? D (S). Учитывая равномерную ограниченность, а именно то, что|| {/® J ^ 1, можно утверждать, что {?^}8>0 сходится сильно на D (S), причем равномерно по t на компактах. Пусть U = {Ut}t>0 обозначает соответствующий сильный предел; нетрудно убедиться, что это С0-полугруппа сжатий.
Непосредственно проверяется соотношение
t
tsS.
(Se Sg) A
^ t II (Sg — Sg) A |
00
[uf — l) A
при всех A ? X. В случае A ? D (S) мы приходим к равенству
(?// ~ /) А t
— j dsUsSA,
взяв сильный предел. Поэтому
(Ut -I) А S/4
t
< sup II (tv
I) S^|
а сильная непрерывность полугруппы U обеспечивает, что ее генератор S расширяет S. В таком случае (/ —aS)'1 служит расширением (I —aS)-1 при всех 0. Но всюду определенные операторы (I — aSr1 не могут иметь собственных расширений, поэтому невозможно строгое вложение S в S, т. е. S обязан совпадать с S.
Так завершается доказательство в случае F = X*, за исключением второго алгоритма, который будет обоснован позже.
С^-случай: F = Х„. Условие (2) теоремы и лемма 3.1.9 позволяют заключить, что оператор S* в X* слабо замкнут и имеет слабо плотную область определения. Вторичное применение леммы 3.1.9 дает
|| (/ - aS*)-i || = || (/ - aS)-i* Ц = || (/ - aS)-i || < 1
182
3. Группы, полугруппы и генераторы
при а > 0. Рассмотренный С„-вариант теоремы (случай F = X*) гарантирует, что S* является генератором слабо непрерывной полугруппы U% сжатий в F = = А1*. Пусть Ut — сопряженная с ней полугруппа операторов в X. Очевидно, Ut будет а (X, /^-непрерывной полугруппой сжатий пространства X. Пусть Т — генератор Ut- Воспользовавшись предложением 3.1.6 при А> 0 и т) ?
