Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
потому что для любого В ? ЭЛ
JAJBQ, = JAB*Q = B/l*Q = B.4'Q = A'BQ.
Следовательно, JW.J s 3W', и, меняя ролями 2Я и ЭЛ', получим /ЭЛ/ ^ ЭЛ', т. е. /ЭЛ/ = ЭЛ'.
В следующей лемме устанавливается результат, по существу аналогичный равенству ЗЛО = ЭЛ'Я, однако в рассматриваемом общем случае появляется резольвента модулярного оператора.
Лемма 2.5.12. Если К ? С, —X <?= R+ и А' ? ЗЛ', то суще-
ствует такой элемент А), ? ЗЛ, что
Л?П = (Д + М1)“М'П.
Для Ах справедлива оценка
1I < (2 | ^ I + ^ + Л)~
Доказательство основано на следующем простом факте. Наблюдение. Пусть а, Ь, К ? R+ и ^ € С \ {0} — такие числа, что
| а + ХЬ | < К.
Тогда
(об)1/2 < (2 | X | + X + Яр V2K.
100
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Действительно, это неравенство является следствием такого:
К2 > | а + ХЬ Р — (а — | Я | Ь)* = (2 | Я | + Я + X) ab.
Возьмем теперь \ = (Д -f- ЯП)-1 A'Q и произвольный элемент В' ? 9J?'. Так как
(Д + М)'1 ? D (Д) с D (S),
5.9, найдется замкнутый оп ) (В) П D (В*) и
BQ = (Д + in)-! В'*В'1,
то, в силу предложения 2.5.9, найдется замкнутый оператор В, присоединенный к ЭЛ, для которого Q ? D (В) П D (В*) и
так что
В'*В'\ = (Д + М) BQ.
Пусть В = U | В [ — полярное разложение В. Тогда 1 Л, (Q, | В | Q) + (Q, U\B\ U* Q) |
= | X (BQ, UО) + (U*Q, B*Q) |
= [ X (BQ, иQ) + (ДВ?2, UQ) I = | ((Д + ЯП) BQ, UО) |
= | (В'*В'?, UQ) |
= | [B'l, UB'Q) | < || B'g II || B'Q ||.
Из нашего наблюдения вытекает, что
|| | В I1/2 Q |] -]| | В |1/2 U*Q || < (2 | X | + X + Яр 1'21| В 'I || | B'Q ||.
С другой стороны,
||В'?||2 = (В'*В'?, g)
= ((А + ЯП) BQ, (Д + ЯП)"* Л'П)
= (BQ, A'Q)
= (|В|’/2Й, А' | В |V2U*Q)
<||Л'|1|||В|1/2й|| |||B|i/2t/*Q II ^ (2 [ X 1 + X -Ь X)- I Л' || 1 S'g |11 S'Q I).
Разделив обе части на ЦВ'^Ц = || В' (Л -|- ЯП)-1 A'Q\\, получаем оценку II В' (Д + ЯНГ1 A'QII <(2 I X I + X + Х)~ х>2 II л' II|| В'й ||.
Она означает, что отображение, заданное на 23ГЙ правилом B'Q I—> В' (Д + ЯП)'1 A'Q,
оказывается йлотно определенным ограниченным оператором с нормой, не превосходящей
(2 | Я |+ Я + Я)- ||.
Обозначив через А^ замыкание этого оператора, имеем ? 231" = 231 и
Atfl = (Д + А.Ц)-1 A'Q.
Вторая фундаментальная лемма указывает явно связь между элементами л*, ? 5ГО и А' ? ЭИ' из леммы 2.5.12.
2.5. Модулярная теория Томиты—Такесаки и стандартные формы 101
Лемма 2.5.13. Для X ? С, —X Ф R+, и А' 6 2ТГ обозначим через А-,, такой элемент Ш, что
Л?Й — (А + ЯП Г1 A'Q
(существование Л?, следует из леммы 2.5Л2). Следующее равенство справедливо как соотношение между билинейными формами на D (А'/2) П D (А->/2);
JA'J = A-^AVs + ЯА'/гЛ^А-'/з.
Доказательство. Пусть В', С' — произвольные элементы 931', и пусть В, С ? WI таковы, что
В* Q = (А + И)-1 .S'Q,
C*Q = (А + А)-1 С' Q.
Учитывая, что (А + Яц) A^Q = A’Q, получаем
(ДЛ?Й, В*СЙ) + А (Л?Й, В*СЙ) = (A'Q, В*СQ).
Рассмотрим по отдельности эти три скалярных произведения. Преобразуем первое из них:
(ДЛ?Й, B*CQ) = (FSAlQ, B*CQ)
--=(SB*CQ, 5Л?Й) = (C*BQ, Л-^Q)
= (BQ, СЛ^Й) = (SB*Q, SA?C*Q)
= (Л?С*Й, AB*Q)
= (C'Q, (A + АГ1 Л*Д (A + H)'1 B'Q).
Второе равно
(Л?Й, B*CQ) = (BAlQ, Сй)
= (5ЛЯВ*Й, SC*Q) = (AC*Q, Л?В*Й)
= (C'Q, (A + И)"1 АЛЛ (A + H)-1 B'Q); последнее — ‘
{A'Q., B*CQ) = (A'BQ, CQ)
= (Л'5В*Й, SC*Q) = (С*й, FA'SB*Q)
= (C'Q, (A + •8р1Д1/2/Л7А1/2 (Д + fl)—1 B'Q).
Множество 9JTQ плотно в §, поэтому мы приходим к равенству между ограниченными операторами
(Д + ИГ* ЛЯД (Д + И)-1 + X (Д + А)'1 ДЛя (А + Ю-1 =
= (Д + Ц)-1 Д'/З/л'/дУг (Д _(_ и)— 1. Умножив его справа и слева на (Д + И) Д 1^2, получаем требуемый результат.
Используя последнюю лемму, покажем, что при Л'? 5И' оператор JA'J принадлежит 93?. Его можно представить в виде
•М7 = (?>-‘/2 + Х?»/2)(Л0,
102
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
где D'/2 (В) — A'''25A-1/2, и при К > 0 формальное применение преобразования Фурье
