Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема (Кадисон). Для всякой С* -алгебры 91 следующие два условия эквивалентны4.
(1) 91 * -изоморфна некоторой алгебре фон Неймана;
(2) каждая ограниченная возрастающая сеть элементов из % имеет точную верхнюю грань, и для любого положительного ненулевого А ? 91 найдется такое нормальное состояние со на 91, что со (Л) Ф 0.
Вследствие тождества поляризации всякий ст-слабо непрерывный линейный функционал является линейной комбинацией четырех ст-слабо непрерывных состояний. Таким образом, теорема 2.4.21 показывает, что ст-слабая топология зависит только от структуры порядка в алгебре фон Неймана, а не от конкретного представления алгебры операторами в гильбертовом пространстве. В результате изоморфизмы и гомоморфизмы между алгебрами фон Неймана будут автоматически непрерывны в ст-слабой топологии. Прежде чем дать строгую формулировку этого утверждения, необходимо охарактеризовать ст-слабо замкнутые идеалы алгебры фон Неймана.
Предложение 2.4.22. ЕслиШ — алгебра фон Неймана и 3 — ее о-слабо замкнутый двусторонний идеал, то существует такой проектор Е ? Ш П 2Я\ что 3 = ШЕ.
Доказательство. Прежде всего убедимся, что Q самосопряжен. Действительно, если А = U\A\ — полярное разложение элемента Л ? то А*А ? Q и |Л | = (Л*Л)1/2 g g, так что Л* = \A\JJ* ? §. Далее, лемма 2.4.19 показывает, что существует наибольший проектор Е ? g. Если {?а} СI 3 — аппро-
2.4. Алгебры фон Неймана
87
¦ ксимативная единица, то можно положить Е — ст-strong lirra Еа. Тем самым Е оказывается единицей для Значит, для А ? ЯК
АЕ = (АЕ) Е = Е (АЕ) = (ЕА) Е = Е (ЕА) = ЕА.
Таким образом, Е ? ЯК', т. е. Е ? ЯЛ Г) 2К'.
Теорема 2.4.23. Пусть Ш и 31 — алгебры фон Неймана и т — произвольный * -гомоморфизм Ш на 31. Тогда т непрерывен и в а-слабой, и в а-сильной топологиях Ш и 31.
Доказательство. Пусть {Аа} — возрастающая сеть в ЯЛ+ п1* А = = 1. и. Ъ.аАа — ст-weak lima4a. Поскольку т сохраняет положительность и является отображением на, т (А) = 1. u. Ь.ат (Аа) = ст-weak lima т (.4а). Следовательно, по нормальному состоянию и на 91 определяется нормальное состояние сй°т на ЯК. Всякий ст-слабо непрерывный функционал представим в виде линейной комбинации ст-слабо непрерывных состояний. Из теоремы 2.4.21 вытекает, что со°т будет ст-слабо непрерывным функционалом на ЯК, если и есть о-слабо непрерывный функционал на 91. Таким образом, отображение т о-слабо непрерывно.
Далее, если Аа ст-сильно сходится к нулю, то А?Аа сходится к нулю ст-слабо. Следовательно, т (Ла)* t ('4а) = t (^а^а) сходится a-слабо к 0 и 1 (Ла) сходится ст-сильно к 0. а)
Теорема 2.4.24. Пусть 5Ш — алгебра фон Неймана, со — нормальное состояние на Ш и ($, л, ?2) — соответствующее циклическое представление. Тогда л (5Ш) — алгебра фон Неймана и л нормально в том смысле, что я (1. и. Ъ.аАа) = 1. и. Ь.а (я (Аа)) для всякой ограниченной возрастающей сети \ А а\ в 9Ji+.
Доказательство. Если Ла yt А в ЯК+, то я (Аа) образуют возрастающую сеть и я (Ла) < я (Л) при всех а. Но так как со нормально, то для любого В ? g ЯК
(я (В) Q, я (Л) я (В) Q) = со (В*АВ) = со (1. и. Ъ.аВ*АаВ) =
— 1. и. b.aco (В*АаВ) = 1. и. Ь.а (я (В) Й, я (Ла) я (В) Q)
(ибо B*AaByfBAB). Нормальность я вытекает теперь из того, что множество
я (ЯК) Q плотно в ф по норме.
Рассуждая далее, как при доказательстве теоремы 2.4.23, убедимся, что я как отображение из ЯК в Я? (!q) будет ст-слабо непрерывно. Поэтому ядро Q отображения я является ст-слабо замкнутым идеалом в ЯЛ. По предложению 2.4.22 существует такой проектор Е ? ЯЛ [~| 2К'> чт0 3 = ЯКЕ.
Следовательно, соотношением я (Л ( 11— Е)) — я (Л) задается точное представление алгебры фон Неймана ЯЛ (1 — Е), т. е. можно, не теряя общности, считать, что и я точно. В таком случае я изометрично, по предложению 2.3.3. Значит, я отображает ЯЛх на я {ЯК)Х. Из ст-слабой компактности ЯЛг и ст-слабой непрерывности я следует ст-слабая компактность и, в частности, о-слабая замкнутость я (ЯК)Х. Теорема 2.4.11 показывает теперь, что я (ЯЛ) — алгебра фон Неймана.
1) Ниже ст-weak обозначает а слабый. —Прим. ред.
2) Ср. с предложением 2.4-6.—Прим. перев.
88
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
2.4.4. Квазиэквивалентность представлений
Ранее, в конце пункта 2.3.1, мы ввели понятие унитарной эквивалентности двух представлений С*-алгебры 91. В соответствии с теоремой 2.3.16, (фи лх) и (§2, я2) унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда единичные векторы пространства и единичные векторы пространства ?2 определяют один и тот же набор состояний алгебры 21. Понятие квазиэквивалентности представлений несколько слабее, но оно более естественно в плане физических приложений.
Определение 2.4.25. Если я — представление С*-алгебры 91, то состояние со на 91 называется л-нормальным, если существует такое нормальное состояние р алгебры л (91)", что
для всех А ? 91.
Два представления ях и я2 С*-алгебры 91 называются квази-эквивалентными, если каждое я1-нормальное состояние ^-нормально, и наоборот; записывается это свойство так: ях ^ я2.
