Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
II (А - Ла) Е IP < I! Л — Аа || И (Л - Лв)>/2 III2 <|| Л ||(|, (А~Аа) |) -^0.
Но сильная и <т-сильная топологии совпадают на Sx (§); этим завершается доказательство. 1;
Определение 2.4.20. Пусть 9И — алгебра фон Неймана и со — положительный линейный функционал на Ш. Если для любой возрастающей сети {Аа\ в 9Л+, имеющей верхнюю грань, выполняется равенство 2) со(1. u. b.aAa) = 1. и. Ь.асо (Аа), то со называется нормальным.
Теорема 2.4.21. Пусть а—состояние на алгебре фон Неймана 2R, действующей в гильбертовом пространстве ?>. Эквивалентны следующие условия:
(1) со—нормальное состояние]
(2) со непрерывно в а-слабой топологии;
(3) существует такая матрица плотности р, т. е. положительный оператор в §, имеющий след Тг (р) = 1,' что
со (А) = Тг (рА).
Предложение 2.2.13, а) позволяет заменить в условии леммы 2’1(§)+ на S (.§)+.—Прим. перев.
21 Ниже 1. и. Ь. — сокращение от least upper bound (точная верхняя грань).— Прим. ред.
2.4. Алгебры фон Неймана
85
Доказательство. Импликация (3) =*- (2) вытекает из предложения 2.4.3, а (2) =*- (1) — из леммы 2.4.19. Покажем, что (2) =*- (3). Если со является а-слабо непрерывным, то существуют такие последовательности векторов {?п}, {Ля}, для которых || ?„ ||2 < оо, Enlhnll2 <оо и со (А) = ?„ (?„, Введем | =
== 0^!© и зададим представление я алгебры ЭЛ на ф, полагая я (Л)(®„1|>„) = = ® п (Л^л). Пусть ? = ®nln, Г) = ®„ть; тогда со (А) = (|, я (.4,1 л). Учитывая, что со (А) вещественно при А ? 9Л+, получаем
4со (А) — 2 (|, я (А) л) + 2 (|, я (Л*) л)
= 2 (|, я (Л) г)) + 2 (11, я (Л) ?)
= (| + 11, я (Л)(? + ri)) — (I — Г), я (Л)(| — 1]))
< (1 +П , я (Л)(Е + л)).
Следовательно, согласно теореме 2.3.19, найдется такой положительный оператор Т ? я (ЭЛ)', что 0 sg; Т ^ 1/2 и
(?, л И) л) = (Т (? + л), л (А) Т (? + л)) = (1|), л (Л) -ф).
Всякий элемент i|) ? § имеет вид i|) = Ф«гр/г, поэтому
® И) = ? 0Ф«. ^«). ^ € ЗН.
п
Правая часть этого равенства представляет собой a-слабо непрерывный положительный функционал, определенный на всем S’ (§), так что со имеет продолжение со на S’ (§). Так как и (1) = 1, то й — состояние. Тем самым, в силу предложения 2.4.3, имеется такой оператор р в классе операторов со следом, что Тг (р) = 1 и
5 (А) = Тг (р/4).
Пусть Р — проектор ранга единица и | — единичный вектор, порождающий его область значений. Тогда
(?, р?) = Тг (РрР) = Тг (рР) = й (Р) > 0.
Значит, р положителен.
Теперь займемся импликацией (1) =>¦ (2). Предположим, что со —лормальное состояние на ЭЛ. Пусть {Ва} — возрастающая сеть элементов из ЭЛ+, и при всех а
пусть ||Ва|| 1, а все отображения А[—(АВа) являются a-сильно непрерыв-
ными. С помощью леммы 2.4.19 можно определить оператор ’>
В = 1. u. b. Ва = cr-strong lim Ва. а а
Тогда О^В^И и В ? ЭЛ. Но для всех А ? ЭЛ
| со (АВ - АВа) |2 = I «п (А (В - Ва)1/2 (В - Ва)1/2) |
< со (А (В - Ва) А*) со (В - В*) <|| А ||2 со (В - Ва).
Следовательно,
[| ш ( . В) — со ( . Ва) ||< (со (В — Ва))'/2).
Но со нормально, поэтому со (В — Ва)—> 0 и сеть функционалов со( • Ва) сходится к со (• В) по норме. Пространство ЭЛ, банахово, так что со ( • В ) ? ЭИ*. Применяя теперь лемму Цорна, можно выбрать максимальный элемент Р ?
Ниже о- strong обозначает сг-сильный. — Прим. ред.
86
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
? 501+ П 9Я,, для которого отображение А|—^.со (АР), А <= 5Ш, 0-сильно непрерывно. Если Р = Ц, то теорема доказана. Поэтому допустим, что Р Ф I, и придем к противоречию. Положим Р' = I — Р и выберем | ? ф так, чтобы со (Р') < (|, Р'|). Если {Ва} — возрастающая сеть в 2Л+, для которой Ва <:
< Р', со (Ва) > (|, Ва1) и В — 1. и. Ь.гаВга = ст-strong lima Ва, то В ? 9JI+, В < Я' и о) (В) = sup со (Ba) > sup (|, Ba?) = (g, В?). Тогда, согласно лемме Цорна, можно указать максимальный элемент В ? 9К+, для которого В <; Я' и со (б) > (?, Bg). Пусть Q — Р' — В. Ясно, что Q ? 931+ и Q ф0 (поскольку со (Я') < (g,>'?)), <i если А ? SDI+, Л < Q, А Ф 0, то со (А) < (|, Л|), ибо В максимален.
Для всякого Л ? 951
(?ЛМ(Э<|| Л f <Э2^||Л|р HQiiQ.
Тем самым (QA *Лф)/|| Л [р|| Q || Q и со (QA*AQ) < (|, QA*AQ%). Комбинируя это с неравенством Коши — Шварца, получаем
| ш (Л(?) р < со (I) со (QA *Л(?) < (g, QA*AQ%) = \\AQlf.
Значит, отображения А\—=»со (AQ) и Л|—>со (Л (Р -j- Q)) оба a-сильно непрерывны, но это противоречит максимальности Р, так как Р -j- Q =?* 11.
Отметим, что понятие нормального состояния позволяет дать, еще одну абстрактную характеризацию алгебр фон Неймана.
