Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 2.4.7. Пусть R — выпуклое подмножество 3? (ф), а 3?г (§) — шар радиуса г в 3? (?). Следующие условия эквивалентны:
(1) $ замкнуто в a-слабой топологии;
(2) §1 замкнуто в a-сильной топологии-,
(3) §1 замкнуто в а-сильной* топологии-,
(4) §1 П 3?г (?) слабо (а потому и а-слабо) замкнуто при
всех г > 0;
(5) 5? П 3?г (€>) си'льно (а потому и a-сильно) замкнуто при всех г > 0;
(6) $ П 3?г (Ф) сильно* (а потому и a-сильно*) замкнуто при всех г > 0.
Доказательство. Эквивалентность (1) *5=^ (4) вытекает из того факта, что 3 (?>) двойственно 3* (ф), и одной теоремы Банаха (см. замечания и комментарии). Импликации (4) =>¦ (5) =>. (6) и (1) =>- (2) =>¦ (3) тривиальны. Так как К П 3Г (§) выпукло при всех г > 0, то, в силу предложения 2.4.6, (3) =>¦ (1) и (6) =>- (4), поскольку замкнутое выпуклое множество, содержащее нуль, совпадает со своей биполярой (см. замечания и комментарии).
15 Как множество § = ф. Если | ? ф, то соответствующий элемент из ф обозначим g. Структура гильбертова пространства в § вводится так:
1 + л = ГГп. = (I ч) = (л. S).
2.4. Алгебры фон Неймана
79
2.4.2. Определение алгебр фон Неймана и их элементарные свойства
Пусть ф — гильбертово пространство. Для всякого подмножества 3)? в 9? (?>) символом ЗЙ', как и прежде, обозначается его коммутант, т. е. множество всех ограниченных операторов в ф, коммутирующих со всеми операторами из Ш. Очевидно, ЭИ' является банаховой алгеброй операторов, содержащей единичный оператор И. Если 3)? самосопряжено, то Ш' окажется С*-алгеброй операторов в ф, замкнутой в каждой из локально-выпуклых топологий, введенных в предыдущем пункте. Нетрудно показать, что
9ft <= Ж" = 3K<iV> ^ 91<VI>
ЭГ = ЭГ” - :D(|V! г= 9W<VII> - . . . .
Определение 2.4.8. Алгебра фон Неймана в ф — это такая *-подалгебра ЗЯ в 9> (ф), что
ЭИ - ЯГ.
Центр 3 (2Я) алгебры фон Неймана определяется равенством
3(ЭД)-9КПЭГ.
Алгебра фон Неймана называется фактором, если ее центр тривиален, т. е. если 3 (9W) = СИ.
Теперь приведем ряд элементарных сведений об алгебрах фон Неймана. Пусть А — самосопряженный элемент алгебры фон Неймана 9Л. Любой оператор, коммутирующий с А, коммутирует и со всеми спектральными проекторами А, поэтому все эти проекторы лежат в ЯИ. Линейными комбинациями спектральных проекторов можно с любой точностью аппроксимировать А = А* по норме, а любой элемент А ? Ш представйм в виде линейной комбинации двух самосопряженных операторов: А = (А + А*)12 + + (А —A*)/2i; следовательно, проекторы из ЯН порождают плотное в ЯН по норме подпространство.
Так как всякий элемент С*-алгебры с единицей является линейной комбинацией четырех унитарных элементов (лемма 2.2.14), то Л ^ S’ (?>) принадлежит ЯН тогда и только тогда, когда VAV* = А для всех унитарных V ? ЯП'. Значит, если А = = U | А | — полярное разложение (пример 2.2.16) элемента А ? <301, то для любого унитарного элемента V ? ЯН'
VUV*V \A\V* = VU\A\V* = VAV* = A = U\A\.
Из единственности полярного разложения выводим VUV*^U, V\A\V* = \А\.'
Тем самым U ? ЯН, | А | ? ЭК,
80
2. С*-алгебры й алгебры фон Неймана
Аналогично, если {Ла| — возрастающая сеть положительных операторов из 2)i с точной верхней гранью А ? 3? (ф)+, то для любого унитарного элемента V ? 2JJ' сеть ~\VAaV*\ = |Ла} имеет точной верхней гранью VAV*. Следовательно, А = VAV* и А ? Ж.
Пример 2.4.9. 3?(!q) — алгебра фон Неймана, и притом фактор, ибо S (?))' = СИ, a S^B (.?>) не является алгеброй фон Неймана, так как S^B (§)' = СП и, следовательно, 3?ЯИ (§)" = S (§). -Отметим, что всякий оператор из S (§) можно аппроксимировать операторами конечного ранга в любой из топологий, рассмотренных в пункте 2.4.1, т. е. замыкание 2Р®’(§) в любой из этих топологий совпадает с S(Sq). Здесь мы сталкиваемся с частным случаем фундаментального результата, известного как теорема фон Неймана о плотности или теорема о бикоммутанте; доказательство ее дано ниже (теорема 2.4.11).
Определение 2.4.10. Если ЭЛ — подмножество в 2 (ф), a J? — подмножество в ф, то условимся обозначать символом [24^1 замыкание линейной оболочки векторов вида А\, где А ? 2JI, \ ? $. Тем же символом [ЗИЛ] будет обозначаться ортогональный проектор на подпространство [9№$].
Напомним, что ^-подалгебра 91 ^ 3? (.?>) называется невырожденной (в ф), если [9Ц?] = ? (см. пункт 2.3.1).
Если 91 ^ 3? (§) содержит единицу, то невырожденность 91 очевидна.
Теорема 2.4.11 (теорема о бикоммутанте). Пусть 91—невырожденная *-алгебра операторов в ф. Тогда эквивалентны следующие условия:
(1) 91" = 91;
(2) (соотв. (2а)) множество 91 (соотв. 91х) слабо замкнуто',
(3) (соотв. (За)) 91 (соотв. 9lj) сильно замкнуто',
