Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
со (ЯП — Л) со (В) = со (Ц) = I.
Поэтому (Я — со (Л)) со (В) = 1 и Я ф со (Л). Этим доказано включение ш (Л) ? ? а (А), а тогда формула спектрального радиуса дает | со (Л) |^р (Л) = || Л ||. Наконец, со (A*A) g а (А*А) > 0.
Предложение 2\3.27. Пусть со —ненулевой линейный функционал на абелевой С*-алгебре 91. Следующие условия эквивалентны:
(1) со — чистое состояние,
(2) со—характер.
Следовательно, спектр а (91) алгебры 91 оказывается подмножеством сопряженного пространства 91*.
Доказательство. (1) => (2). Это уже было доказано (следствие 2.3.21).
(2) => (1). Лемма 2.3.26 показывает, что со — непрерывная положительная форма с I со || ^ 1. Для всякой аппроксимативной единицы Еа
со (Л) = lim со (АЕа) = со (Л) lim со (Еа),
а а
так что
1 = lim со (Еа).
а
Поэтому || со || = 1 и со — состояние. Наконец, это состояние чисто, в силу того же следствия 2.3.21, поскольку оно мультипликативно.
Теперь можно уточнить теорему 2.1.11.
Теорема 2.1.11 А. Пусть 91 — абелева С*-алгебра и X — множество ее характеров, снабженное слабой* топологией, унаследованной от сопряженного пространства 91*. Пространство X отделимо и локально-компактно-, оно компактно тогда и только тогда, когда 91 содержит единицу. Кроме того, 91 изоморфна алгебре С0 (X) непрерывных функций на X, обращающихся в нуль на бесконечности.
Доказательство. Сначала докажем, что X локально-компактно. Всякому со0 ? X можно сопоставить такой элемент Л ? Щ+, что со0 (Л) >• 0, поэтому умножением на скаляр всегда можно добиться, чтобы со0 (Л) >• 1. Множество
К = {со; со?Х, со (Л) > 1}
2.3. Представления и состояния
71
является открытой окрестностью точки со0; его замыкание /С удовлетворяет условию
К Е {со; со?Х, со (А) > l}.
Покажем, что последнее множество компактно. Ясно, что слабый* предел со семейства характеров соа обладает мультипликативным свойством со (ВС) = = (о (В) со (С). Далее,
со (А) = Игл ша (А) > 1,
а
так что наш предел со ненулевой. Поэтому множество {со; со ? X, со (А) > 1}, будучи замкнутым подмножеством слабо* компактного единичного шара в Ш*, само компактно. Отметим, что при наличии у St единицы множестго всех характеров, содержащееся в единичном шаре St*, замкнуто, в силу тех же самых соображений, примененных при А = 2D, и потому слабо* компактно.
Далее, каждому А ? St сопоставим его представитель А, полагая А (со) =
= со (А). Немедленно проверяется, что А — комплекснозначная непрерывная
функция и что отображение А >—А — морфизм; так, например, АВ (со) =
= со (АВ) = со (А) со (В) ~ А (со) В (со). Согласно основной лемме о существовании (лемма 2.3.23), имеем также
|| А ||2 = sup | А (со) |2 = sup | А*А (со) | = || А |р.
X а>?х
Значит, А —>А — изоморфизм. Перейдем к проверке того, что А ? С0 (X). Достаточно показать, что при любом е > 0 множество
КЕ = {со; ш?Х, | со (А) \ > е} слабо* компактно. Но это вытекает из рассуждений, проведенных выше.
Наконец, отметим, что функции А разделяют точки X в том смысле, что
при сох =f= со2 найдется такая функция А, что А (сох) =j= А (со2). Действительно, в этом и заключается несовпадение сох и со2. Таким образом, множество функций А совпадает со всем С0 (X) по теореме Стоуна — Вейерштрасса. Если X компактно, то С0 (X) содержит постоянные функции, и St должна содержать единицу.
Отображение обычно называют преобразованием Гель-
фанда. В отдельных случаях структурную теорему можно уточнить и дальше.
Теорема 2.1.ЦБ. Если чй — абелева С*-алгебра, порожденная одним элементом А (и его сопряженным А*), то 91 изоморфна С*-алгебре непрерывных функций на спектре а (А) этого элемента, обращающихся в нуль в 0.
Доказательство. Пусть сначала St имеет единицу. Тогда А обратим, т. е.
0 ^ а (Л), и X = a (SI) слабо* компактно. Зададим отображение ср формулой
Ф (со) = со (А)
при всех со ? X. Согласно лемме 2.3.26, ф отображает X в а (А). Если %, а>2 ? ? X, то coj = а>2 равносильно Wj (А) = а>2 (А), поскольку со,- мультипликативны и А порождает St. Значит, ф взаимно-однозначно, и мы теперь покажем, что это
72
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
гомеоморфизм. Если X ? а (Л), то замыкание множества {(А,Ц — А) В; В ? Щ} окажется замкнутым двусторонним идеалом в 91, который не содержит^шара {С; С ? Ж, ЦП — С|| < 1}. Для проверки достаточно заметить, что все элементы из этого шара обратимы, С-1 = (I — С)'!, что несовместимо с вклю-
чением X ? а (Л). Из леммы 2.3.23 следует, что имеется чистое состояние со с А,Ц — А ? ker со, т. е. со (Л) = X. Отображение ф, очевидно непрерывное, является гомеоморфизмом, так как X и а (А) компактны.
