Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
с= ф). Вещественная функция (>—?-2t (1 -|- 12)-1 строго возрастает от —1 до 1 на промежутке [—1, 1], принимая все значения из [—1, 1]. Поэтому функция /:
3 (f))sai—^3 (С))8а, которая А сопоставляет / (А) = 2Л (И + А2)'1, для всякой С*-подалгебры 33 с= 3 (§>) отображает 33sa в sa. Более того, f отображает S3lsa на себя взаимно-однозначно. Следовательно, если / непрерывна в сг-силь-ной топологии, то 3llsa = / (Slsa) окажется о-сильно плотно в SWisa = / (ЭЛза).
Тождества, справедливые при всех А, В ? 3 (§>)sa>
4- (f (А) ~ f (В)) = (1 + Л2)'1 М + В2) - + А2) В\ (И + А4)-1
= (И + Л2) -1 (Л - В) (П + В2)-1
+ (Ч + -42)-1 А (В — А) В (1 + В2) -1
= (А + А2)~1 (А - В) (1 + В2)-1 + -L / (Л) (В _ Л) f (В)
позволяют заключить, что функция [ непрерывна (см. предложение 2.4.1).
Для завершения доказательства введем гильбертово пространство f) = = § ® ?». Каждый оператор А ? 3 (?>) представйм 2 X 2-матрицей (Л;;-), *, / = 1,2 Пусть Ж (соотв. 5Ш)'состоит из таких операторов Л ? 3 (§), для
которых Ац ? Ж, i, j = 1,2 (соотв. Л,;- ? Ш). Ясно, что Щ и Ж — само-
сопряженные алгебры в § и I слабо плотна в Ш Теперь выберем В ? Ш1 с ||В||< 1 и зададим В Ш равенством
2 = (°
\В* О / •
Тогда В* = В и || В || ^ 1. Первая часть доказательства показывает, что найдутся такие операторы _____________
15 А именно, элемент можно аппроксимировать в любой из наз-
ванных топологий элемэнтами А^^Ж с ||Ла||^|| Л||. —Прим. перев.
2.4. Алгебры фон Неймана
83
с Ак = A%i, которые a-сильно сходятся к В. Соответствующие Л12 будут a-сильно сходиться к В, а Л*2 = Л2] одновременно a-сильно сходятся к В*. Таким образом, Л12 будут сходиться к В также и a-сильно*, и при этом || Л12||^
<11лц< 1.
2.4.3. Нормальные состояния и преддвойственное пространство
Если мера [х на X сг-конечна, то элементы / ? L°° (X, d\i), рассматриваемые как операторы умножения в гильбертовом пространстве L2 (X, d\i), образуют алгебру фон Неймана. Пространство L°° (X, djx) сопряжено к банахову пространству L1 (X, d\i), однако Ll (X, djx) не совпадает с сопряженным к L°° (X, d\i) банаховым пространством, образуя в нем замкнутое по норме подпространство. В этом пункте мы опишем аналогичное подмножество сопряженного пространства произвольной алгебры фон Неймана ЭН и изучим свойства этого подмножества, именуемого предсопряженным или преддвойственным пространством алгебры.
Определение 2.4.17. Предсопряженное, или преддвойственное, пространство ЭН* алгебры фон Неймана 20? — это пространство всех a-слабо непрерывных линейных функционалов на ЗН.
Отметим, что в частном случае ЭН = 2 ($) мы уже вводили такое определение. Если со— любой функционал на 2ft, непрерывный в локально-выпуклой топологии, индуцированной заданной топологией 2 (ф), то со можно продолжить до непрерывного линейного функционала на 2 (ф), согласно теореме Хана—Банаха (теорема 2.3.22Б). Тем самым, в силу предложения 2.4.6, можно заменить в определении 2.4.17 «a-слабо» на «a-сильно*», и, кроме того, все элементы со ^ 2D1?.,, представимы в виде
со (А) — 5] (Ъп Аг\п),
П
где II In ||2 < оо и || т)„ f < оо.
Предложение 2.4.18. Преддвойственное пространство ЭН* алгебры фон Неймана ЭН по отношению к норме из ЭН* банахово. Пространство ЭН ставится в двойственность пространству ЭН* билинейной формой
{А, со) ? ЭНхЭИ*!—>со(А).
Доказательство. Пусть 5Ш1 состоит из элементов которые орто-
гональны ®i. Тогда ЭК = ЯК11, поскольку 9Л — это a-слабо замкнутое подпространство в 3? (Jp). Но теорема Хана — Банаха обеспечивает возможность продолжить любой элемент 5Ш*до элемента 9?* (ф). Кроме того, сужение всякого элемента 9?* (ф) задает элемент из ЭК*. Значит, 2JI* можно канонически отождествить с банаховым пространством 3?^ (ВД/ЗН-1. Следовательно, 9)1 двойственно этому пространству, поскольку 9? (§) двойственно 9?* (§) (предложение 2.4.3).
84
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Предложение 2.4.18 означает, что всякая алгебра фон Неймана как банахово пространство сопряжена некоторому банахову пространству. Интересно отметить, что это свойство может служить абстрактным определением алгебры фон Неймана:
Теорема (Сакаи). С*-алгебра 91 *-изоморфна алгебре фон Неймана тогда и только тогда, когда пространство ЭД сопряжено некоторому банахову пространству.
Доказательство этой теоремы мы не приводим, так как в дальнейшем она нам не понадобится (см. замечания и комментарии).
Займемся теперь положительными функционалами из 9JJ*.
Лемма 2.4.19. Пусть \Аа\ — возрастающая сеть о 2>1(ф)+, ограниченная сверху некоторым элементом из 3? (?>)+. Тогда |Аа\ имеет точную верхнюю грань А ? Я? (?>) и a-сильно сходится к А.
Доказательство. Обозначим слабое замыкание множества, состоящего из всех Лр с а, через Слабая компактность S± (f)) гарантирует существование хотя бы одного элемента А в П аЯа- При всяком Аа множество таких В ? S (.§)+, что В > Аа, будет сг-слабо замкнутым множеством, содержащим Яа; поэтому А > Аа. Значит, А мажорирует {Аа} и содержится в слабом замыкании {Аа}. Если В — другой оператор, мажорирующий множество {Ла}, то он мажорирует и его слабое замыкание, так что В :> А; иначе говоря, А — точная верхняя грань {Ла}. Наконец, для ? ? §
