Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Затем введем функционал pL, полагая
Рь (ы) = inf {Я; к > 0, X-1(o?L}.
Можно проверить, что pL ((^ -(- ^ pL (Wj) -(- pL (w3), pL (ka>) — %pL (ш)
при X > 0 и (to) ^ 1 в том и только том случае, когда (о ? L. Для этого надо учесть выпуклость и замкнутость L и то, что 0 ? L. Кроме того, ш0 — ш' 0 ф L, а следовательно, р^ (<а0 — ю') >¦ 1. Теперь зададим g на подпространстве {X (ш0 — ш'); X ? R}, положив g (Я (ш0 — со')) = XpL (о)0 — со'). Из теоремы 2.3.22Б вытекает, что g имеет линейное непрерывное продолжение на X, причем для этого продолжения g (ш) ^ pL (ш). Функция f (со) = g (ш — (o') обладает нужными нам свойствами.
Эти рассуждения показывают, что третий вариант теоремы Хана—Банаха является следствием второго, но верно и обратное. Доказательство мы не приводим, так как в дальнейшем'такой связью не воспользуемся.
Обратимся к операторным топологиям в 3? (§).
Сильная и о-сильная топологии. Для всякого ? ? § отображение А 1—»||М? || задает полунорму на 3! (ф). Локально-выпуклая топология в 3? (§), определенная такими полунормами, называется сильной.
С ней можно сопоставить 0-сильную топологию; для ее получения рассматривают все последовательности IEJ в й, у которых
II In II2 < °°- Тогда для А ? 2 (§)
п п
Следовательно, А н-|| А\п Ц2]1/2 будет полунормой гна 3? (§); а-сильная топология определяется множеством таких полунорм.
Предложение 2.4.1. Хотя а-сильная топология сильнее, чем сильная, обе они совпадают на единичном шаре Я?! (¦?>) пространства 9? (?). Шар 3?г {¦‘о) полон в равномерной структуре, определенной этими топологиями. Умножение (А, В) *-^>АВ непрерывно в этих
2.4. Алгебры фон Неймана
75
топологиях как отображение 9? х (§) х 9? (§) —2(§). Если § бесконечномерно, то умножение не будет непрерывным по совокупности переменных на всём SB (?>) и отображение A i—>А * не является непрерывным.
Доказательство. Первое утверждение сразу следует из того, что полунормы, задающие a-сильную топологию, являются равномерными пределами сильно непрерывных полунорм. Полнота 3?-^ (§) вытекает из полноты §. Непрерывность умножения на 3?-^ (?)) X 3? (§>) выводится из соотношения
АВ\~ А0В? = А (В - В0) ? + (А - А0) В0|.
Разрывность At—-А* в случае бесконечномерного § демонстрирует следующий пример. Пусть {!„} — ортонормированный базис §; зададим операторы Ап ?
6 & (?>) формулой Anl = (?„, I) Ясно, что Ап-> 0 ст-сильно, но (Л*!,, §) = = (1\,Ап%) = (I,, ?,)(!„, S), т. е. А*п%х = 1п, так что A *gj не стремится к нулю.
Слабая и о-слабая топологии. Если r| g §, то А н-э-1 (Е, A ri)| определяет полунорму на 3.? (?>). Порожденная этими полунормами топология в 3? (§) называется слабой. Для задания этой топологии достаточно полунорм, отвечающих векторным состояниям, Лн-Н (I, ЛЕ)|, потому что в комплексном ф имеет место тождество поляризации
4(?, Лт,)=2 Гпа + 1’\ A(t + Гч)).
п=О
Пусть {?„}, {т]га) — такие последовательности в что 2j|| In f <1 00»
П
Я II Лп II2 < 00 • т0ГДа Для Ае&Ш
tl
?I (?„, Ацп) ^ ? II |n IIIIAIII Т|„ IN II ЛIIГ I] II f ]1/2 Г ? II i1n f ]1/2<оо.
п п L Ч J L п J
Значит, Л 1—| (^,г, Л г) J| — полунорма на i?(§). Индуцированная этими полунормами топология в 9? (§) называется G-слабой.
Предложение 2.4.2. Хотя о-слабая топология сильнее, чем слабая, обе они совпадают на единичном шаре f?x (§) пространства
3.? (?>). Шар 9?х (§) компактен в этой топологии. Отображения Л'—>АВ, А г->ВА и Лн-> Л* непрерывны в этой топологии, но в^случае бесконечномерного § умножение не является непрерывным по совокупности ieременных.
Доказательство. Так как полунормы, задающие a-слабую топологию, —это равномерные пределы слабо непрерывных полунорм, то первое утверждение очевидно. Столь же очевидна раздельная непрерывность умножения, а непрерывность АI—>А* следует из равенства | (?, А*г\) | = [ (г), А%) |.
Компактность 2’1 (§) в слабой топологии выводится из теоремы Алаоглу — Бурбаки с помощью следующего результата.
Предложение 2.4.3. Пусть Тг обозначает обычный след на 9? (?>), и пусть (,§)) — банахово пространство операторов в со следом, снабженное следовой!' нормой Т i—^ Тг (| 7^ |) = || Т ||тг.
7в
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Сопряженное к ZT (ф) пространство ?Г (ф)* совпадает с 2 (ф), оно двойственно ?Г (ф) относительно билинейной формы
А х Т?2(ф) X Т (ф) ^ Тг (АТ).
Связанная с этой двойственностью слабая* топология на 2 (ф) совпадает с а-слабой топологией.
Доказательство. Ввиду неравенства | Тг (АТ) | ^ || А [| || Т ||тг, 3? (ф) является подпространством пространства (ф)* в смысле указанной в предложении двойственности. С другой стороны, каждое со g (ф)* принадлежит, этому подпространству, т. е. найдется A g i? (ф), такое что со (Т) = Тг (АТ) при всех Т g У (ф). Для доказательства возьмем ф, if> (Е © и введем оператор Еф ,j, ранга 1 по формуле
