Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
(4) (соотв. (4а)) 91 (соотв. 91х) сильно* замкнуто',
(5) (соотв. (5а)) 91 (соотв. 91х) о-слабо замкнуто-,
(6) (соотв. (6а)) 91 (соотв. 91х) о-сильно замкнуто-,
(7) (соотв. (7а)) 91 (доотв. 9Ij) a-сильно* замкнуто.
Доказательство. Эквивалентность (2а), (За), (4а), (5), (5а), (6), (6а), (7), (7а) вытекает из теоремы 2.4.7. Ясно, что из (1) следуют все остальные условия и что (2) =*- (3) => (4) =*- (7). Таким образом, остается показать, скажем, что (6) =;-=*- (1). Для этого рассмотрим счетную сумму копий §) = где —
= при всех п.
По А ? S’ ф) зададим я (А) ? S (.?)):
я(Л)(© 6п) = Ф (Ain).
Очевидно, я будет *-изоморфизмом, переводящим S (§) в некоторую подалгебру алгебры S (ф).
Лемма 2.4.12\ Справедливо соотношение я (91") = я (91)".
2.4. Амебры фон Неймана
81
Доказательство. Пусть Еп — ортогональный проектор из ф = на фп = ф. Оператор В ? SB (ф) лежит в я (81)' тогда и только тогда, когда ЕпВЕт ? ЭГ при всех п и т. Следовательно, С ? SB (ф) принадлежит я (St)" тогда и только тогда, когда С коммутирует со всеми Еп, а ЕпСЕп принадлежит St" и не зависит от п, т. е. тогда и только тогда, когда С принадлежит я (St").
Лемма 2.4.13. Если ЗК—невырожденная *-алгебра операторов в гильбертовом пространстве ф, то всякий вектор ? ? ф содержится в подпространстве [3Ji?].
Доказательство. Пусть Р = [9К1]; тогда
МР = РМР
при всех М ? ЯК. Переходя к сопряженным операторам, получаем
РМ* = РМ*Р
при всех М* ? Ш. Из самосопряженности Ш выводим, что
МР = РМ = РМР
при всех М ? 2)1, т. е. Р ? 2Л'. Полагая У = Р\ и У =(11 — Р) имеем
! = !' -f- 1". Соотношение
А\' + АГ= Л? € [9»11
означает, что Л?" = 0 при всех А ? Ш. Следовательно, для произвольных т] ? ? ф и А ? Ж
(У, Л г]) = (Л*Г, Л) = 0.
Мы установили, что У содержится в ортогональном дополнении к [ЭЛф ] = ф; значит, У = 0 и § ? [5ГО?].
Лемма 2.4.14. Пусть 9)с — невырожденная *-алгебра операторов в гильбертовом пространстве ф. Тогда для любых I ? ф, Л ? SW" и е > 0 существует такой оператор В ? 3Jt, что
|| (/1 — В) Е || < е.
Доказательство. Мы должны показать, что [5Ш?] = [9Л"?]. Пусть Р — ортогональный проектор на [5Ш1]. Так какЗЙ с: [ЭйЦ.то Р ? Ш'. Тем самым Р коммутирует с Ш", так что Ш1" [5D??] cz. По лемме 2.4.13, | ?
? [50Ш; следовательно, Ш'% ^ [9Ji?] и [Ш'%] <= [ЭД1?].
Конец доказательства теоремы 2.4.11. Пусть выполнено (6), А ? St" и {?„} — такая последовательность в ф, что ?n||?>j||2 < оо. Тогда (Вп\п ? ф. Алгебра St невырожденна, значит, и я (81) невырожденна. Кроме того, согласно лемме 2.4.12, я (А) ? я (81)''. Поэтому можно применить лемму 2.4.14, заменив в ней Л на я (Л), с Ш = я (8t) и ? = Следовательно, существует
? St, для которого
1/2
8 >11(51 (Л) — Я (В)) ||
2 II (Л — В) IP
ГС =1
т. е. А принадлежит a-сильному замыканию Значит, A ? St и Ш." cz St.
Следствие 2.4.15 (теорема фон Неймана о плотности). Всякая невырожденная *-алгебра Й операторов, действующих в гильбертовом пространстве ф, цлотна в ЗД" в слабой, сильной, сильной*, a-слабой, а-сцльной и a-сильной* топологиях.
82
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Доказательство. Если Ж обозначает замыкание 81 в любой из названных топологий, то Ж' —Ж', а потому Ж" — Ж". Но, согласно теореме 2.4.11,
1 = 1".
Теперь мы установим полезный результат, который позволяет сразу же усилить следствие 2.4.15 15.
Теорема 2.4.16 (теорема Капланского о плотности). Если 21 — самосопряженная алгебра операторов в гильбертовом пространстве, то ее единичный шар о-сильно* плотен в единичном шаре алгебры, полученной слабым замыканием Я.
Доказательство. Пусть ЭЛ — слабое замыкание Ж, a atj и 5.1?! — единичные шары алгебр Ж и 9Л соответственно. Будем обозначать совокупность самосопряженных элементов подмножества 91 в 3 (?)) через Очевидно, шар Жх плотен по норме в единичном шаре замыкания Ж по норме, так что без ограничения общности можно считать Й С*-алгеброй.
По теореме 2.4.11 она сг-сильно* плотна в 5Ш, так что ее подмножество Sfsa будет о-сильно плотно в SJtsa (применяем теорему 2.4.11, заменив § на с=
