Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Если же 91 не содержит единицы, перейдем к алгебре Ж = СП + 91, которая порождается 11 и А. Следствие 2.3.20 показывает, что всякий характер со на 9t обладает единственным продолжением до характера со на 91, причем со (А,Ц + + А) = X + со (Л). Наоборот, если со — характер 91, тосо|щ будет характером 91, кроме того случая, когда й |щ- = 0, а в этом случае й есть тот единственный характер алгебры 91, для которого (И) = 1, (0^^= 0. Тем самым
a (9t) = a (9t) U {Ч»} (как множества).
Зададим отображение ф: а (91)—> С, полагая
Ф (й) = й (Л).
По лемме 2.3.26 это ф отображает а (91) в а (Л). Если ф (йх) = ф (й2), то йх |^= = й2|щ, в то время как йх (И) = 1 = й2 (I). Значит, йх = й2 и ф взаимнооднозначно. Те же соображения, что и выше, показывают, что ф отображает а (Я) на а (Л), причем гомеоморфно. Рассмотрим теперь В i—э- В— гельфандовский изоморфизм 9Ci—С (а (91)). Полагая В (X) = В (ф-1 (А,)), приходим к изоморфизму В I—> В алгебры 91 на С (а (Л)). Из определения ф вытекает, что
Л (Я) =Х, Х?а(А).
Таким образом, алгебра Ж = Ж изоморфна подалгебре в С (а (А)), порожденной тождественной функцией Xi—>Х. По теореме Стоуна — Вейерштрасса эта алгебра состоит из непрерывных функций на а (Л), обращающихся в 0 в нуль.
2.4. Алгебры фон Неймана
2.4.1. Топологии в 3? (?)
Всякая С*-алгебра может быть реализована как алгебра ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве ?>. Существует много, вообще говоря неэквивалентных, представлений такого рода, но в любом из конкретных представлений алгебра замкнута в равномерной операторной топологии. Для подробного изучения структуры представления необходимо изучить действие алгебры на векторы и подпространства ?. При этом естественно и интересно рассмотреть все операторы, которые аппроксимируют представителей С*-алгебры во всех конечномерных подпространствах. Так возникает желание замкнуть алгебру операторов в какой-нибудь из топологий, более слабых,
2.4. Алгебры фон Неймана
73
чем равномерная, но тем не менее обладающих некоторыми свойствами равномерности на конечномерных подпространствах. Существует много таких операторных топологий, однако оказывается, что замыкание С*-алгебры от конкретного выбора топологии не зависит. Алгебра операторов, полученная в результате этой процедуры замыкания, служит примером алгебр фон Неймана.
Нашей ближайшей целью является изучение алгебр фон Неймана, но для этого надо начать с обзора операторных топологий в 2 ($).
Все рассматриваемые нами топологии принадлежат к локальновыпуклым топологиям, согласованным со структурой векторного пространства в 9? (§). Каждая такая топология задается некоторым семейством полунорм {р}. Базис окрестностей нуля в соответствующей топологии получается, если рассмотреть для каждого конечного набора полунорм ръ ..., рп множество тех А ? 9? (§), для которых Pi (А) < 1, i = 1, ..., п.
В значительной мере дальнейшее изложение основано на общем варианте теоремы Хана—Банаха для вещественных или комплексных векторных пространств. В пункте 2.3.4 мы сформулировали эту теорему применительно к нормированным пространствам (теорема 2.3.22А); его обобщение по существу состоит в замене нормы полунормой либо любой другой однородной полу-аддитивной функцией.
Теорема2.3.22Б (теорема Хана—Банаха). Пусть X—вещественное векторное пространство .и р — вещественнозначная функция на X со свойствами
(1) р (a>i + со2) ¦< р (ft>i) -f- р (со2), соь <и2^Х,
(2) р(Х(о) = Хр (со), А,5э0, (о?Х.
Далее, пусть Y — вещественное векторное подпространство в X и f —• вещественный линейный функционал на Y, удовлетворяющий условию
f(a>)<p (со), со ?Y.
Тогда f обладает таким вещественным линейным продолжением F на X, что
F (а) < р (со), со? X.
Если пространство X нормировано и р (со) = || со || || / ||, то сформулированная теорема сводится к теореме'2.3.22А. Если же X — отделимое локально-выпуклое топологическое пространство, а в качестве р выбирается одна из полунорм, определяющих его топологию, то теорема гарантирует существование непрерывных линейных продолжений у непрерывных функционалов, заданных на подпространствах.
74
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Оба приведенных варианта теоремы Хана—Банаха являются утверждениями о существовании продолжений для линейных функционалов. Однако можно переформулировать теорему, придав ей вид геометрического результата, относящегося к свойствам отделимости. Вот одна из подобных формулировок.
Теорема2.3.22В (теорема Хана—Банаха). Пусть К—замкнутое выпуклое подмножество отделимого вещественного локальновыпуклого топологического пространства. Если со0 ф К, то найдется такой непрерывный аффинный функционал f, что f (со0) >1, a f (со) < 1 при всех со ? К-
Выведем третий вариант теоремы из второго. Зафиксируем со' ? К и положим .
L = {со; о) = (о" — а',
