Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
| со (А* В А) |2 со (А* А) со (А* В* В А),
так что из
А*В*ВА <||В||ММ
следует
со (А*В*ВА) sC ||Вfсо (А*А), и свойство в) получено. Свойство г) вытекает из б).
Следствие 2.3.12. Если ©х и ©а—положительные линейные функционалы на С*-алгебре ЗД, то (ох + щ — положительны$ Ацнейный функционал и
60
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
В частности, состояния на 31 образуют выпуклое подмножество в сопряженном пространстве алгебры.
Доказательство. Положительность щ + ш2 очевидна, а
II “1 + “2 1 = ]1т (®1 (?а) + ®2 (?а))
= Пт со, (?2) + lim ш2 (?2) = || ш, || + || ш21|.
Наконец, если fflj и ш2 — состояния, то при 0 ^ Я ^ 1 функционал ш = Яо^ -|-+ (1—Я) ш2 положителен и || со || = Я || fflj || + (1—Я)||(о2||=1, Значит, ш — состояние.
Заметим, что если С*-алгебра 31 не имеет единицы и 31 = СИ + + 51 — алгебра, полученная присоединением единицы, то всякий со ? 31* обладает продолжением со ? 31*, задаваемым формулой б (ЯП + А) = Я|| со || + со (Л). Это продолжение обычно называют каноническим', оно переводит состояния в состояния.
Следствие 2.3.13. Пусть С*-алгебра % не имеет единицы «31 получена из нее присоединением единицы. Пусть со — положительный линейный функционал на 31, а й — его каноническое продолжение на %. Тогда со положителен и || со || = | ю ||. Более того, если сох, со2 — положительные формы, а йь й2 — их канонические продолжения, то
Юх 0)2 = 0)х 0>2-
Доказательство. Применяя предложение 2.3.11, б), получаем оценку
ш ((ЯП + Л)* (ЯП + А)) = | Я |21| ш || + Яш (А) + Яш (А*) + со (А*А)
> (| Я 11| ш ||1/2 - ш (Л*Л)1/2)2 > О,
так что ш положителен. Поскольку 31 содержит единицу, то ||ш||]= ш (11) = = || ш || в соответствии с предложением 2.3.11. Далее,
®i W + А) + “г (М + Л) = Я (|| (Ox I + || со21) + (0х (Л) -|- со2 (Л)
II ШХ I! + II ш2 II = II Шх + Ш2 ||,
откуда следует последнее утверждение следствия.
Сеойство положительности определяет во множестве функционалов естественное упорядочение. Для'положительных линейных функционалов 0)х и о)2 будем писать o)j ^ о)2 или о)х — о)2 ]5г0, если о)х — о)2 положителен, и будем говорить при этом, что а>х мажорирует о)2. В дальнейшем большую роль играют свойства состояний, связанные с этой структурой порядка.
Если о)х, о)2 — состояния, на 91 и 0 < X < 1, то о) = Ясох + + (Г —X) Юг будет состоянием, для которого выполняются условия 0) ^ Яо)х И О) (1 — X) 0)2.
Таким образом, если о) является выпуклой линейной комбинацией двух различных состояний, то оно мажорирует соответ-
2.3. Представления и состояния
61
ствующие кратные этих состояний. Естественно называть состояние чистым, когда его нельзя представить в виде выпуклой комбинации других состояний, так что предыдущим замечанием о мажорировании оправдывается
Определение 2.3.14. Состояние to на С*-алгебре 31 назовем чистым, если оно мажорирует только положительные линейные функционалы вида Ясо с О < 1. Множество всех состояний обозначим Е%, а множество чистых состояний Р%.
Завершим этот пункт обсуждением ряда элементарных свойств множеств и Р%. Эти подмножества двойственного пространства 31* алгебры 31 можно наделять топологией, сужая на них какую-либо топологию 31*. На 31* определены две естественные топологии. Равномерная топология, или топология нормы, задается системой окрестностей to ? 31* вида
'U (to; е) = {to'; to'6 91*. 1 to — to' || < e},
где e > 0. В слабой* топологии окрестности точки to индексируются конечными наборами элементов Аъ А%, ..., Ап ? 31 и е > 0 и имеют вид
‘U (to; Ai.....A0 = {to'; ©'6 91*. I to' (Лг) — to (Лг) | < e,
i = 1, 2, ...,n).
Слабой* топологией приходится очень широко пользоваться; впоследствии мы будем прибегать и к помощи равномерной топологии.
Теорема 2.3.15. Пусть В$ц обозначает множество положительных линейных функционалов на С*-алгебре 31, норма которых не превосходит единицы. Тогда ?% есть выпуклое слабо* компактное подмножество сопряж ннсго пространства 31*. Множество & (?%) крайних, или экстремальных, точек В% состоит из 0 и всех чистых состояний. Вдобавок В% совпадает со слабым* замыканием выпуклой оболочки своих крайних точек.
Множество состояний Е<% тоже выпукло, но оно слабо* компактно в том и только том случае, когда 31 содержит единицу. В таком случае крайними точками Е% являются чистые состояния и ? Рщ и совпадает со слабым* замыканием выпуклой оболочки чистых состояний.
Доказательство. Очевидно, В^ — выпуклое, слабо * замкнутое подмножество единичного шара 31* пространства ST* (ЗГ* = {со; со ? St*, || со |J ^ 1}). Шар 3tJ по теореме Алаогл.у — Бурбаки .слабо * компактен.
Точка 0 — крайняя для Вщ, потому что если со ? В^ и —со ? В^, то
