Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
и введем еще
Еа = mFa (Н -f mFa)-1.
Поскольку А{ ? Q, то также и Еа, Fa ? Q. Кроме того, Ц?а|| ^ 1 и
т
S {Еа~^)А.А](Еа~Ц 1 = 1
= (1 + Fa + МРаУ1
= F\l2^+mFa)-4^
= ±.{t_(t+mFa)-i)<±b
Здесь мы учли, что О (1 ^ 1, и воспользовались предложением
2.2.13, в). В силу части а) этого предложения,
и, следовательно, |[ ЕаА — А || 0 при всех А В заключение отметим, что
Еа - Ер = (И + nF„)-i - (11 + mFa)~\
•но а > Р влечет mFa nFji, так что Еа > согласно предложению 2.2.13, г) Таким образом, Еа образуют аппроксимативную единицу.
Существование аппроксимативных единиц позволяет завершить обсуждение факторалгебр, начатое в разделе 2.1, доказательством следующего важного результата:
Предложение 2.2.19. Пусть 3 — замкнутый двусторонний идеал С* -алгебры 91. Тогда 3 самосопряжен и факторалгебра 91/3 (определение см. в пункте 2.1.1) является С*-алгеброй.
Доказательство. Идеал / обладает аппроксимативной единицей {Яа}. Если А ? Q, то \\ЕаА — А [| = \\А*Еа — А* ||—>• 0. Однако А *?„?9, замкнутсму множеству, поэтому А* ?31. Эти* доказана самосопряженность Q.
Для завершения доказательства надо показать, что норма на факторалгсбре,
|М || = inf {И А +7 ||; /?§},
2.3. Представления и состояния
49
обладает свойствами С*-нормы. С этой целью сперва проверим, что
II А I = lim)J Л — ЕаА ||. а
Присоединив, если необходимо, единицу к St, получаем оценку
lim sup I Л — ЕаА || = lim sup || (И — Еа) (Л -f-1) ц а а
<1И + /||.
Действительно, для / ? 3 имеем || Еа/ — /||—> О, а неравенство вытекает из того, что а (Еа) s [0, 1 ] и, значит, а (И — Еа) с [0, 1 ] и ЦП — Еа || < 1. Теперь можно получить
II Л || » lim sup Ц Л — ЕаА I а
lim inf I Л — ЕаА ||
а
»inf{||A + /||; /еЗ} = Н||,
и С*-свойство нормы следует из соотношений
II А II2 = lim || Л — ЕаА ||»
а
= lim || (Л — ЕаА) (Л-?аЛ)*||
а
= lim |{ (И — Еа) (ЛЛ* + /) (1-?а)1| а
<||ЛЛ* + /||; здесь / — произвольный элемент из Qf. Тем самым
1Мц* <|| 2 л *ц <ц л I ц л* ц,
откуда, во-первых, ||Л||= ||Л*||, а, во-вторых,
|| Л |р =|| А Л* ||.
2.3. Представления и состояния
2.3.1. Представления
В предыдущих разделах мы изложили начала абстрактной теории С*-алгебр и в качестве иллюстрации к теоретическим положениям рассмотрели ряд примеров С*-алгебр операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Теперь мы обсудим некоторые вопросы теории представлений и изучим связь между абстрактным описанием и конкретными алгебрами операторов. Ключевыми понятиями для этого круга вопросов являются понятия представления и состояния. Состояния С*-алгебры 91, играющие основную роль в конструкции ее представлений, образуют
50
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
подкласс класса линейных функционалов, принимающих положительные значения на положительных элементах из 91. Обсуждению свойств состояний мы предпошлем рассмотрение общих свойств представлений. Начнем с точного определения представления.
Нам потребуется понятие * -морфизма между двумя *-алгебрами 91 и 93. Это — отображение я: A ? 91 s- я (А) (j 93, определенное при всех А ? 91, для которого
(1) я (аА +.|3?) = an (А) + (Зя (В),
(2) я (АВ) = я (А) я (В),
(3) я (А*) = я (А)*
при любых Л, Д 6 91 и а, Р ? С. Обычно термин «морфизм» резервируется для отображений со свойствами (1) и (2), однако все морфизмы, которые нам встретятся, будут *-морфизмами, поэтому мы часто будем опускать звездочку*.
Полезно отметить, что все *-морфизмы между С*-алгебрами автоматически непрерывны. Верна следующая
Лемма 2.3.1. Пусть 91 и 93 — две С*-алгебры и я — некоторый
* -морфизм 91 в 93. Тогда
(1) я сохраняет положительность, т. е.
из А >¦ 0 следует я (Л) 0,
(2) я непрерывен и
||я(Л)[|с||Л||
при всех А (j 91.
Доказательство. (1) Если А :> 0, то А = В* В с В ? St (по теореме 2.2.12). Таким образом, я (Л) = я (В*В) = я (В)* я (В) > 0.
(2) Согласно предложению 2.2.13,6), 0 < (Л*Л)2 < А*А [| А*А ||.
Доказанная часть теоремы позволяет получить
0 < я (ЛМ)2 < я {А*А) || А*А ||.
Ссылка на предложение 2.2.13, а) дает неравенство
|| я (Л) f = || я (А*А) |р < I я (ЛМ) || II А*А || = || я (Л) ||21| Л |р, равносильное неравенству |] я (Л) || < | А |.
