Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
> | Я01 для чисто мнимых Я0 (из обратимости Л вытекает, что
С R \ [—е, е] при некотором е> 0), а следовательно,
Л”1 = 2 (Я0)я R (Я0)'!+1 ,
0
где число Я0 чисто мнимое и | Я0 | > || Л ||.
Пусть теперь Л обратим, но не обязательно самосопряжен. Тогда А*А обратим, и предыдущие рассуждения показывают, что (Л*Л)-1 содержится в С*-под_ алгебре алгебры G, порожденной Ц и А*А. Наконец, положим
X = (Л*Л)-1 А*.
Этот X ? G и ХА = 11, так что X = Л-1, т. е. Л обратим в Ё.
Принимая во внимание этот результат, упростим обозначение ¦ спектра элемента С*- алгебры 91 и впредь вместо сгщ (Л) будем писать а (А).
2.2.2. Положительные элементы
Класс положительных элементов С*-алгебры, вероятно, самый важный, потому-что понятие положительности позволяет ввести втношение порядка между элементами алгебры и дает нам метод качественного сравнения.
40
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Известны разные эквивалентные характеризации положительности; наиболее удобно, по-видимому, определение в терминах спектра.
Определение 2.2.8. Элемент А инволютивной алгебры % назовем положительным, если он самосопряжен и его спектр а (А) принадлежит положительной полупрямой 1). Множество всех положительных элементов обозначим 91+.
Изучение положительных элементов начнем с рассмотрения их квадратных корней. Имеет смысл подчеркнуть, что в теории функций комплексного переменного операция извлечения квадратного корня играет большую роль. Эта операция вместе с элементарными алгебраическими операциями позволяет легко построить абсолютную величину функции: |/| = J/f/; затем можно разложить вещественную функцию на положительную и отрицательную части: = (| /1 ±/)/2, и т.д. Поэтому для обобщения функ-
ционального исчисления удобно распологать алгебраическими алгоритмами построения квадратного корня. Обратимся к этим алгоритмам.
Предварительно установим одну простую характеризацию положительных элементов.
Лемма 2.2.9. Пусть С*-алгебра 91 содержит единицу Ц. Самосопряженный элемент А ? 91 положителен тогда и только тогда, когда || II — Л/| А || с 1. Если А самосопряжен, || А | с 1 и || 1 — А | с <1, то А — положительный элемент.
Доказательство. Если А положителен, то а (Л) s [0, || А ||] по теореме 2.2.5. Тогда а (Ц—Л/|| A |j) Е [0, 1] и ЦП—Л/||Л||)|< 1. Наоборот, условие || 1! — Л/|| А || || < 1 повлечет а (11 — Л/|| А ||) s [—1, 1 ], или а (Л) s [0, 2 || А ||], так что А положителен. Аналогично доказывается и второе утверждение.
Теорема 2.2.10. Положительность самосопряженного элемента С* -алгебры 91 равносильна представимости его в виде А = В2, где В = В* ? 91 — некоторый самосопряженный элемент. Более того, если А положителен, то существует единственный положительный В, для которого А — Вг, и этот В лежит в абелевой С*-подалгебре, порожденной А.
Доказательство. Если В самосопряжен, то В2 _ самосопряжен и а (В2) s
S [0, ||В|р] по теореме 2.2.5, г), т. е. В2 положителен. В обратную сторону докажем утверждение явным построением положительного В с В2 = А.
Если 31 не содержит единицы, то мы ее присоединим. Далее, для X ]> 0 и положительного А будет обратим ХЛ А и
А (ЯП + Л)-1 = 11 - X (ЯП + Л)-1.
Из предложения 2.2.3 легко вывести, что
а (А (М + Л)-1) s [0, || А || (X + \]А Ц)"1],
То есть а (A) gR+= {Я ? R; X » 0}. — Прим. перев.
2.2. Функциональное исчисление и спектральный анализ
41
следовательно,
I А (ЯП + Л)’11| С И || (Я + || Л И)"1.
Эта оценка позволяет задать В ? Щ. как интеграл Римана:
ОО
В--Нгйг',<м+Л>"-
о
(Интеграл в Щ. вводится по той же самой схеме, что и в обычном анализе, надо только все оценки, которые делались для модулей (комплексных) чисел, заменить оценками по норме в алгебре). Непосредственная проверка показывает, что Л = = В2. Мы опустим эти выкладки, которые предполагают некоторые навыки в интегрировании1*, однако продемонстрируем положительность В. Очевидно, достаточно рассмотреть случай || Л || = 1. Тогда
оо оо
О О
и
оо
р _ ВII < ±. j -^-11 (Я + 1)-11 _ А(М + А)-1И о
ОО
<-Ы^ттг||мм + ЛГ1|111|-Л|1-
о
Но IЯ (ЯЦ -|- Л)-11 ^ 1 при X > 0 и || 11 — Л II ^ 1 для положительных Л с || Л || = = 1 (лемма 2.2.9). Следовательно, ||В|| ^ 1 и j|l — ВЦ ^ 1, и вторичная ссылка на лемму 2.2.9 гарантирует положительность В.
Пусть теперь обозначает абелеву С*-алгебру, порожденную Л. Если
Я> 0, то (ЯП -|- Л)"1 ? Яд= СИ + 91д> согласно предложению 2.2.7. Тем самым Л (ЯП + Л)-1 ? 5ГД и В ? ЭГА.
