Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
|| А || = sup {||Лг|> ||; г|><= $, ||г|>|| = 1}.
Стандартная операция перехода к сопряженному оператору определяет инволюцию в SB (ф), и по отношению к введенным операциям и норме S ф) будет С*-ал-
28
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
геброй. В частности, характеристическое С*-свойство нормы вытекает из простой выкладки
II Л II2 = sup {(-4г|\ Лт|;); II1J) 11=1}
= sup {(i|), А*Ау); 1|5 С §>, II 1|) II = 1}
<sup {||ЛМ1|)||; №1=1}
= ||ЛМ||<||Л*||М|| = ||Лр.
Заметим, что всякая равномерно замкнутая и самосопряженная подалгебра 91 алгебры 2? (§) также является С*-алгеброй.
Пример 2.1.3. Пусть ЗРЯЗ (§) обозначает алгебру компактных операторов, действующих в гильбертовом пространстве ?). Она оказывается С*-алгеброй. Во-первых, (§) — самосопряженная подалгебра в 9? (§), а во-вторых, она равномерно замкнута, так как равномерный предел множества компактных операторов в § автоматически будет компактным оператором.
Другие примеры С*-алгебр, на первый взгляд несколько отличающиеся от предыдущих, можно получить, рассматривая алгебры функций.
Пример 2.1.4. Пусть X — локально-компактное пространство и С0 (X) — совокупность непрерывных функций на X, обращающихся в нуль на бесконечности. Под этим подразумевается, что для любой / ? С0 (X) и любого е> О можно указать такое компактное множество К "= X, что | / (jc) | < е при всех х ? X \ К. (дополнение к К в X). Введем алгебраические операции и инволюцию, полагая («/)(*) = af (х), (/ + g){x) = / (х) + g (х), (fg)(x) = / (х) g (х) и /* (х) = = / (х). Зададим норму в С0 (X) формулой
II/11 = sup {|/(*)[; х?Х\.
Тогда С0 (X) превращается в коммутативную С*-алгебру. В частности, тождество для нормы имеет место ибо
1//* 11 = sup (| / (х) |2; *6Х} =||/||2.
Заметим, что если на X определена мера [г и § — L2 (X; fi) — гильбертово пространство функций на X с ц-интегрируемым квадратом модуля, то С0 (X) можно рассматривать и как алгебру операторов умножения в Тем самым С0 (X) оказывается С*-подалгеброй 3? (§) в полной аналогии с предыдущими примерами.
Единицей С*-алгебры 91 называется такой ее элемент И, что
А = НА = ЛИ
для всех Л ? 91. Применяя к этим равенствам инволюцию, видим, что И* — также единица алгебры 91. Но 91 не может иметь более одной единицы, потому что второй подобный элемент И' удовлетворял бы условию
Ц' =: ИИ' = И.
Таким образом, И = И'. Кроме того, из соотношений
1 И || = || 11*111 = IИ |р,
М11 = 1|ил||<1И11М1Г
2.1. С*-алгебры
29
следует, что ||И|| = 0 или 1. Но если || 111| = 0, то и для всякого А ? 91 оказывается ||Л|| = 0, так что алгебра состоит из одного элемента 0. Этот тривиальный случай мы исключаем из рассмотрения и в дальнейшем всегда считаем, что }| И [| = 1.
Хотя С*-алгебра не может иметь более одного единичного элемента, она вовсе не обязана обладать единицей. Например,' в алгебре (?) (см. пример 2.1.3) единица существует тогда и только тогда, когда § конечномерно, а алгебра С0 (X) (см. пример 2.1.4) имеет единицу тогда и только тогда, когда X компактно. Отсутствие единицы, вообще говоря, усложняет структурный анализ 91, но эту сложность можно в значительной мере обойти,
погрузив 91 в большую алгебру 91, в которой есть единица. Рас-
смотрим конструкцию такой алгебры 91.
Предложение 2.1.5. Пусть С* -алгебра^. не имеет единицы, и пусть 91 обозначает алгебру пар {(а, Л); а ? С, Л ? 91} с операциями (а, А) + (Р, В) = (а + р, Л + В), (а, Л) (Р, В) = (ар, аВ + РЛ + АВ), (а, А)* = (а, Л*) Х). Тогда
|| (а, Л) | = sup {[I аВ + АВ ||, В ? 91, || В || = 1}
определяет на 91 норму, превращающую Щ в С*-алгебру с единицей. Алгебру 91 можно отождествить с С*-подалгеброй 91, образованной парами вида (0, Л).
Доказательство. Легко проверить, что неравенство треугольника и неравенство для произведения при таком определении нормы выполнены. Далее, || (а, А) || = 0 означает, что а — 0 и А = 0. В самом деле, || (0, А) || = || А ||, следовательно, из || (0, А) || = 0 вытекает А — 0. Остается случай а Ф 0; умножая, если надо, (а, А) на скаляр, можно считать, что а — 1. Но
II В — АВ || с || В || || (1, — Л) ||,
поэтому из условия 1(1, —А) || = 0 последует В-- АВ для любого В ?31. Применяя инволюцию, находим В = ВА* для всех В ? St, значит, А* = = А А* = А и
В ,1В ВА.
т. е. А — единица в противоречие с исходным условием.
Для проверки С*-свойства нормы заметим, что
|| (а, А) |р = sup {II аВ -j- АВ ||2; BgSt, ||В||=1}
= sup {|| В* (а аВ + а АВ + а А*В + ЛМВ)||; В ? St, || В || = 1}
< II («> А)* (а. Л) || < || (а, А)* || || (а, А) ||.
