Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Хотя вслед за тем фон Нейман предпринял изучение и бесконечномерных йордановых алгебр, оказалось, что наиболее плодотворна алгебраическая переформулировка квантовой механики на языке IF*-алгебр Мюррея и фон Неймана. В этой трактовке квантовые наблюдаемые отождествляются с самосопряженными элементами некоторой слабо замкнутой *-алгебры 3№ ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ф, а состояния —¦ со смешанными состояниями, описанными выше. Эти смешанные состояния, или смеси, являются линейными функционалами на Ш,
1. Введение
15
принимающими положительные значения на положительных элементах алгебры, причем значение, принимаемое на единичном элементе, равно единице (нормализованность). Сейчас принято называть состояниями все нормализованные положительные линейные функционалы. Смешанные состояния обычно именуют нормальными, их можно охарактеризовать в ряду прочих состояний различными алгебраическими или аналитическими свойствами. (Общая структура топологических алгебр и их состояний обсуждается в гл. 2.)
После характеризации С*-алгебр, данной Гельфандом и Най-марком, Сигал в 1947 г. выдвинул тезис о прямой физической интерпретируемости равномерного предела наблюдаемых, в отличие от слабого предела, имеющего лишь аналитический смысл (эта точка зрения не бесспорна). Он предложил отождествлять наблюдаемые с элементами некоторой равномерно замкнутой йордановой алгебры и показал, что ими вполне можно обойтись при построении спектральной теории, а следовательно и при интерпретации квантовой механики. Отсутствие структурной классификации йордановых алгебр заставило, правда, усилить основное предположение и считать, что наблюдаемые образуют самосопряженную часть некоторой С*-алгебры 51 с единицей, а физические состояния составляют некоторую часть множества всех состояний на 31. Впоследствии структура йордановых алгебр была изучена, и последнее предположение выглядит теперь вполне убедительно. (Элберт и Пейдж в 1959 г. показали, что исключительная алгебра Мз не имеет представлений в гильбертовом пространстве. Однако в 1974 г. Альфсен, Шульц и Стёрмер развили теорию Сигала для йордановых алгебр 31 с единицей, полных относительно некоторой нормы ||*||, обладающей следующими тремя свойствами:
(1) ||ЛоВ||<||Л1||В||,
(2) I Л о Л || = || Л ||2,
(3) ||Л °Л||<|]Л°Л + ВоВ\\
для всех Л, В из 31. Эквивалентное определение в терминах упорядоченных пространств: (31, 1) является полным упорядоченным пространством с порядковой единицей, в котором 1) Л °Л > О для любого Л ? 31 и 2) —И < Л < 1 Л°Л < 1. Альфсен, Шульц и Стёрмер доказали, что в этом случае ЗХ содержит такой Йорданов идеал 3, что йорданова алгебра 31/3 допускает точное изометрическое представление самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве, причем всякое «неприводимое» йорданово представление алгебры 31, не аннулирующее 3, будет отображением на Л4®.)
Сигал изучил также соответствие между состояниями и представлениями С*-алгебры 31, важное и для математики, и для
16
I. Введение
физики, а затем переформулировал теорему единственности Стоуна—фон Неймана в виде утверждения о свойствах состояний. Если 91 и 27? обозначают соответственно С*-алгебру и W* -алгебру, порожденную вейлевскими операторами {U((s), V}-(t);s, t?R,
i, j = 1, 2, ..., ti\ в представлении Шрёдингера, то состояние со на 31 Сигал называет регулярным, если функция со (Ut (s), Vj (t)) непрерывна по совокупности переменных s и / при всех i и /; это свойство регулярности прямо связано с существованием Операторов координаты и импульса. Теорема единственности переформулируется так: состояние со регулярно тогда и только тогда, когда оно оказывается сужением на 31 некоторого нормального состояния алгебры Ш. Представления, отвечающие таким состояниям, устроены как прямые суммы копий представления Шрёдингера.
Данный вариант теоремы единственности показывает, что различие между описанием квантовых наблюдаемых при помощи С*-алгебры и их описанием при помощи №*-алгебры в случае систем с конечным числом степеней свободы несущественно и выбор между ними — это по сути дела вопрос технического удобства. Однако это различие очень существенно в более общей ситуации систем с бесконечным числом степеней свободы, например для систем с бесконечным числом частиц.
Имеется ряд различных способов распространения формализма Гейзенберга на случай бесконечных наборов операторов pt, qt, удовлетворяющих каноническим коммутационным соотношениям. Так, можно построить прямой аналог представления Шрёдингера, применяя технику функционального интегрирования, или же можно воспользоваться унитарно эквивалентной перестройкой этого представления, сохраняющей смысл и для бесконечного числа переменных. Самый старый и самый распространенный вариант представления, допускающий такое обобщение, был предложен Фоком в 1932 г. и примерно двадцать лет спустя строго обоснован Куком (см. гл. 5). Располагая каким-нибудь таким представлением, можно построить бесконечное семейство унитарных операторов Вейля и рассмотреть порожденные этими операторами С*-алгебру 31 и W*-алгебру Ш. Но теорема единственности теперь уже не имеет места. Существуют регулярные состояния алгебры 31, которые не являются сужениями нормальных состояний алгебры 2JJ, и представления,"отвечающие этим состояниям, не сводятся больше к прямым суммам копий представлений Фока—Кука или Шрёдингера. Об этом отсутствии единственности не подозревали до 50-х годов, когда Сигалом, Фридрихсом и другими были даны примеры неэквивалентных регулярных представлений. В 1955 г. Хааг доказал теорему, по существу означающую, что два чистых основных состояния либо совпадают, либо дизъюнктны, т. е. порождают неэквивалентные представления (см. гл. 5, следствие 5-3.41). Тем самым разные динамики должны, по-видимому, опре
