Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Хотя отправные пункты у указанных подходов к равновесной статистической механике разные, оба они приводят к выделению некоего класса равновесных состояний, исследовать который легче для идеальных систем бесконечного объема. Такая идеализация позволяет выразить ряд свойств реальных физических тел, например однородность, в виде свойств симметрии теоретической модели. Действие группы пространственных сдвигов реализуется *-автоморфизмами С*-алгебры 91 всех наблюдаемых, и однородность выражается инвариантностью равновесных состояний относительно этой группы. Изучение инвариантных состояний С*-алгебры приводит в математическом плане к некоммутативному аналогу эрго-дической теории, которая сама развилась на основе классической статистической механики. Эргодическая теория занимается динамическими системами (X, jn, Т), состоящими из измеримого пространства X, вероятностной меры ц на нем и однопараметрической группы Т преобразований X, сохраняющих меру. Прямым алгебраическим аналогом динамической системы является тройка (91, со, т), состоящая из С*-алгебры 91, состояния со на ней и однопараметрической группы т ее *-автоморфизмов, оставляющих со инвариантным, но представляет интерес и изучение более сложных групп автоморфизмов. Исследования равновесных состояний, проведенные в середине 60-х годов, показали, что многие результаты классической эргодической теории допускают распространение на некоммутативный случай, если (91, со, т) обладает надлежащим свойством асимптотической абелевости, например таким:
НшЦт* (Л) В — Bxt (Л) I = 0.
Используя подобные свойства, удается доказать, что каждое инвариантное состояние со единственным образом разлагается по инвариантным состояниям — аналогам эргодических мер. Эти последние состояния характеризуются свойством неразложимости, или перемешивания, а указанные разложения оказываются связанными с разделением на термодинамические фазы. Результаты такого рода, подробно разбираемые в главе 4, служат еще одним примером полезного и интересного синтеза математики и физики.
Обсуждая второй из подходов к анализу равновесных состояний, мы исходили из допущения, что эволюция системы во времени задается некоторой непрерывной однопараметрической подгруппой т группы *-автоморфизмов С*-алгебры 91. Это предположение выполняется, однако, лишь для самых простых моделей. Оно неверно даже для невзаимодействующего бозе-газа. Тем самым в более реалистических теориях приходится ослаблять указанное допуще-
24
1. Введение
ние; различные возможные варианты подсказываются первь;м подходом. Можно попытаться одновременно конструировать и равновесное состояние со, и эволюцию т. В «наилучших» случаях видоизменение сводится к тому, что т образует теперь однопараметрическую группу автоморфизмов алгебры тсм (91)" — слабого замыкания образа 91 в циклическом представлении, ассоциированном с со. Если встать на ту точку зрения, что смесями векторных состояний, отвечающих этому представлению зтм, исчерпываются все «физически интересные» состояния, или если включить в категорию наблюдаемых все самосопряженные операторы из (91)", то такое описание приемлемо В этом расширенном контексте производится уточнение алгебраических понятий физического состояния и наблюдаемой.
В 1963 г. Хааг и Кастлер высказали ряд интересных соображений относительно состояний и физической эквивалентности, которые в значительной мере подтверждают вышеизложенную точку зрения. Они отметили, что при измерении наблюдаемых Аъ ..., Ап в состоянии со мы должны получить некоторые числа со (Лх) = = ..., со (Л„) = %п, но поскольку любому процессу измерения
неизбежно присущи погрешности, наблюденные значения будут на самом деле лежать внутри небольших интервалов (Яг — е, + е). Тем самым состояние со физически эквивалентно любому состоянию со', для которого
| со (А,) — со' (At) | •< е, i = 1,
т. е. физическая эквивалентность определяется окрестностями в слабой* топологии. Принимая во внимание, что смеси векторных состояний, отвечающих любому точному представлению ям, слабо* плотны во множестве всех состояний на 9J, вроде бы можно считать, что таких состояний достаточно для целей полного физического описания. Тем не менее при изучении систем, которые физически несходны, скажем систем при разных температурах или плотностях, необходимо работать с состояниями, не являющимися смесями векторных состояний, отвечающих тому или иному представлению, и целесообразно рассматривать динамическую эволюцию отдельно в каждом состоянии.
ЗАМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
Статьи Мюррея и фон Неймана удобно собраны в третьем томе собрания сочинений фон Неймана [ [Neu 1 ] ]. Характеризация С*-алгебр, данная Гельфандом и Наймарком, впервые была опубликована в их статье [Gel 1 ].
В приложении к лекциям Макки [ [Mac 1 ] ], прочитанным в Университете Чикаго, описывается влияние, которое оказала теория алгебр фон Неймана на развитие теории представлений
1. Введение
25
групп. В этом приложении обсуждаются также многие вопросы, затронутые в данной главе.
