Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Многие^ из[ранних статей по квантовой механике воспроизведены в сборнике [ [Wae 1 ] ] под редакцией ван дер Вардена, а самый ранний вариант предложенной фон Нейманом аксиоматизации квантовой теории содержится в [ [Neu 2 ] ].
С работами Стоуна и фон Неймана можно ознакомиться по второму тому собрания сочинений фон Неймана [Neu 1]] и по монографии Стоуна [ [Sto 1]].
Принадлежащая Сигалу формулировка квантовой механики на языке С*-алгебр резюмирована в [Seg 1 ].
Обзор по структурной теории йордановых алгебр можно найти в [ [Str 1]].
В настоящей главе мы дали исторический очерк развития квантовых теорий, а также остановились на некоторых из попыток аксиоматического построения теории, первой из которых была аксиоматика фон Неймана. Однако мы намеренно не вдавались в подробности аксиоматики квантовой статистической механики, ибо в настоящее время не существует ’набора аксиом, охватывающего все модели. В конце главы упомянуты, например, трудности, связанные с предположением о возможности задать динамику системы некоторой сильно непрерывной однопараметрической подгруппой группы *-автоморфизмов С*-алгебры, сопоставленной системе. Более обстоятельный обзор развития аксиоматических квантовых теорий вплоть до 1974 г. читатель найдет в статье Вайтмана [Wig 2], посвященной шестой проблеме Гильберта.
Остальные темы, затронутые в данной главе, подробно изучаются в последующих главах, и соответствующие ссылки на литературу можно найти в замечаниях и комментариях к этим главам.
2. С'-АЛГЕБРЫ И АЛГЁБРЫ ФОН НЕЙМАНА
2.1. С‘-алгебры
2.1.1. Основные определения и структура С*-алгебр
Теория С*-алгебр представляет собой абстрактное исследование структурных свойств некоторых алгебр ограниченных операторов, действующих в гильбертовых пространствах, и одновременно она является специальным разделом теории банаховых алгебр. В соответствии с этим возможны два варианта изложения теории. Можно отправляться от конкретной реализации алгебры операторами в гильбертовом пространстве или можно начать с абстрактного описания в духе общей теории банаховых алгебр. Мы воспользуемся вторым из указанных подходов.
Пусть 91 — векторное пространство над С, полем комплексных чисел а, |3, ... . Пространство 91 называется алгеброй, если оно наделено операцией умножения, которая каждой паре элементов А, В ?91 сопоставляет их произведение АВ. Закон умножения предполагается ассоциативным и дистрибутивным, т. е,, требуется, чтобы
(1) А (ВС) = (АВ) С,
(2) А (В + С) = АВ + АС,
(3) ар (АВ) = (аА) фВ).
Подпространство 23 в 91 называется подалгеброй, если оно является алгеброй относительно операций, введенных в 91. Алгебра 91 коммутативна, или абелева, если умножение коммутативно, т. е. если
АВ = ВА.
Отображение А ? 91 >-—> А * ? 91 называется инволюцией (или операцией сопряжения) на алгебре 91, если выполнены следующие свойства:
(1) А** = А,
(2) (АВ)* = В* А*,
(3) (а А + р?)* = йЛ* + РВ*
(а обозначает число, комплексно сопряженное с а). Алгебру с инволюцией называют инволютивной или *-алгеброй, а подмножество 93сг91 называется самосопряженным, если А ? 93 влечет
л*е®-
2.1. С*-алгебры
27
Алгебра 91 называется нормированной, если каждому элементу А ? 91 сопоставлено вещественное число || А || (норма А) и при этом
(1) I AflSsO и IЛ || = 0 тогда и только тогда, когда А = О,
(2) || а Л || = | а IIЛ Ц,
(3) || Л ВI < IЛ J 1| ВII,
(4) И л в и < || Л || 1В ||.
Третье условие называется неравенством треугольника, а четвертое
— неравенством для (нормы) произведения.
Норма определяет на 91 метрическую топологию, которую именуют равномерной топологией 91. Окрестностями элемента Л ? 91 в этой топологии служат множества
Ч1(А- е) = {В; В ||В — Л[|<е},
где е > 0. Если пространство 91 полно в равномерной топологии, 91 называют банаховой алгеброй. Полная нормированная алгебра с инволюцией, обладающая свойством ||Л || = || Л* ||, называется банаховой * -алгеброй.
Теперь приведем наше основное определение.
Определение 2.1.1. С*-алгебра — это банахова *-алгебра 91 с дополнительным свойством
1 А* А || = || Л |Р
для всех Л ?91.
Характеризующее С*-алгебру свойство нормы несет на себе отпечаток связи со структурой гильбертова пространства. Отметим, что это свойство в сочетании с неравенством для произведения автоматически дает || Л * || = || Л ||, потому что
IIА |Р = || А*А Я < || А* || IЛ1
и, следовательно, |Л||<|Л*||. Меняя ролями Л и Л*, заключаем, что
||Л|| = ||Л*||
для всех Л ? 91.
Приводимые ниже примеры проясняют происхождение условия на С*-норму. Подчеркнем, что здесь и в дальнейшем под гильбертовым пространством понимается комплексное гильбертово пространство.
Пример 2.1.2. Пусть § — гильбертово пространство, а 9? (§) — множество всех- ограниченных линейных операторов в ф. Введем в 9? (§) обычные операции сложения и умножения элементов и снабдим это множество операторной нормой
