Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
1. Введение
17
делять разные представления. Дополнительный свет на роль неэквивалентных представлений пролили Гординг и Вайтман в 1954 г.; полностью же этот вопрос был выяснен в середине 60-х годов усилиями Чейкена, Делль’Антонио, Доплихера и Рюэля. Регулярные состояния алгебры 91, которые получаются при сужении на 91 нормальных состояний алгебры 2№, в точности совпадают с состояниями, в которых с вероятностью 1 число частиц конечно. (Этот результат, подсказанный модельными расчетами, произведенными в 50-е годы Хаагом, ван Ховом, Араки и другими авторами, положен нами в основу рассмотрения в гл. 5 теоремы единственности Стоуна—фон Неймана.) Таким образом, представлением Шрёдингера можно обойтись при описании систем с конечным числом частиц, но для систем, содержащих бесконечное число частиц, важны другие представления соответствующих С*- и Ц7*-алгебр. Осознание этого обстоятельства стало отправным пунктом для большинства дальнейших применений алгебр с инволюцией в математической физике.
Разумеется, совсем не очевидно, что изучение систем, состоящих из бесконечного числа частиц, представляет интерес для физики, и вопрос о применимости такого подхода к статистической механике часто вызывал горячие споры в 50-х и 60-х годах. Для понимания существа проблемы необходимо разобраться, какого рода идеализации присущи теоретическому описанию систем даже в случае конечного числа частиц.
В качестве простого примера рассмотрим рассеяние частицы на неподвижной мишени. Пусть эксперимент состоит в многократном обстреле мишени частицами, получившими заданную скорость, и последующем измерении скоростей рассеянных частиц. Типичная задача для теоретика — рассчитать на основании данных рассеяния силу взаимодействия падающей частицы и мишени. Первым делом применяется стандартная идеализация — задача сводится к изучению взаимодействия двух изолированных тел. Этот прием оправдан, если эксперимент проводится аккуратно и можно пренебречь воздействием внешних факторов. Разумеется, видоизменяя условия эксперимента и саму экспериментальную установку, можно проверить, действительно ли малы внешние воздействия, и такого, рода контроль — неотъемлемая часть хорошо поставленного эксперимента. Для того чтобы результаты эксперимента отличались надежностью и были воспроизводимы, необходимо еще убедиться, что данные рассеяния нечувствительны к небольшим изменениям в процедурах начального й конечного измерений. Например, если силы взаимодействия велики, а частица и мишень в начале опыта расположены близко, то небольшие изменения начальной скорости частицы приведут к большим изменениям ее конечной скорости. Аналогично если конечную скорость частицы измерять слишком рано, когда частица еще не успела
18
/. Введение
достаточно удалиться от мишени и скорость ее еще не установилась, то незначительные погрешности в процедуре измерения приведут к существенному разбросу в результатах. В хорошем эксперименте предусматриваются различные проверки и перепроверки, гарантирующие независимость данных от подобных возмущений. В таком случае теоретик может интерпретировать результаты опыта как асимптотические данные-, например, замеренная в эксперименте скорость вылетающей рассеянной частицы трактуется им как та скорость, которой частица обладала бы по истечении сколь угодно большого промежутка времени. Данные опыта, которые физик-экспериментатор получил, весьма вероятно, в промежуток времени между первым и вторым завтраком в крохотной загроможденной лаборатории, будут интерпретированы его коллегами-теоретиками в терминах изолированных систем, которые вечно движутся в бесконечно протяженном пространстве. На пригодности такого рода идеализаций, имеющей столь же фундаментальное значение, как и возможность повторного воспроизведения данных эксперимента, зиждется вся теоретическая физика.
Другой источник идеализаций — описание термодинамических систем при помощи статистической механики: конечная физическая система подменяется бесконечной теоретической моделью. Типичным примером термодинамического эксперимента может служить измерение теплоемкости жидкости; в этом эксперименте некоторая солидная порция жидкости нагревается в калориметре. После надлежащих измерений экспериментатор разделит найденную теплоемкость на массу взятого количества жидкости и объявит результат значением удельной теплоемкости данной жидкости в кал/(г-К) или в других соответствующих единицах. Результат представляется в такой форме потому, что экспериментатор уверен: при неизменных условиях эксперимента и в пределах точности измерений теплоемкость исследуемого образца вещества пропорциональна его массе, но, помимо этого, уже не зависит ни от размеров образца, ни от устройства калориметра и т. д. Конечно, это можно проверить, повторяя опыты с разными объемами жидкости и разными калориметрами, и такие проверки всегда сопутствуют хорошему эксперименту. Величиной, которая сравнивается с результатом измерений, будет доля рассчитанной теоретиком теплоемкости, приходящаяся на единицу объема системы, и поскольку для больших систем теплоемкость строго пропорциональна размерам системы, подходящей математической процедурой для отыскания этой величины будет взятие предела отношения теплоемкости к объему при стремлении объема к бесконечности. Это пример так' называемого термодинамического предела. Итак, мы снова имеем здесь дело с идеализированным описанием конечных систем посредством бесконечных; абстракция эта оправдана, если выдержаны вышеупомянутые требования к эксперименту и для расчетов
