Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
В этой книге излагаются элементарная теория операторных алгебр и те разделы высшей теории, которые имеют или могут иметь отношение к математической физике. Вслед за тем изложены различные приложения к квантовой статистической механике. Приступая к работе над книгой, мы собирались уложиться в рамки одного тома, но по ходу дела стало ясно, что тогда пришлось бы исключить ряд интересных тем или подробностей. В результате материал был разделен на два тома, первый из которых посвящен общей теории операторных алгебр, а второй — приложениям.
Такое разбиение на теорию и приложения, хотя и является традиционным, тем не менее несколько произвольно. Дело в том, что за последние 15—20 лет специалисты в области математической физики осознали важность операторных алгебр, их состояний и автоморфизмов для исследования проблем квантовой теории поля и статистической механики. Однако 20 лет назад теория операторных алгебр была ориентирована главным образом на анализ представлений групп, что не отвечало потребностям многих физических приложений. Поэтому за коротким медовым месяцем, когда вновь обретенные математические средства в их «первозданном» виде применялись для решения наиболее податливых проблем, последовал более продолжительный и интересный период, когда для применений в математической физике уже требовалось заново развивать теорию в соответствующих направлениях. Были введены новые понятия, такие как асимптотическая абелевость и состояния КМШ, были привлечены новые методы, например теория барицентрических разложений Шоке была применена для изучения состояний алгебр, были получены новые структурные результаты, скажем существование континуума неизоморфных факторов типа III. Достижения этого периода оказали существенное влияние на дальнейшее развитие теории операторных алгебр и привели к нынешнему периоду продолжающегося плодотворного сотрудничества математиков и физиков. Они также .обусловили такое переплетение теории и приложений, что последние зачастую определяют формирование теории. Именно в этом смысле надо понимать наше замечание о некотором произволе деления книги на две части.
Вся книга (оба тома) состоит из шести глав, четыре в первом томе и две во втором. Нумерация глав сплошная, и в каждом томе приведена сводная библиография. Первая глава служит кратким
8
Предисловие
историческим введением, основной же материал представлен в остальных пяти главах. При объединении этого материала в одну связную книгу с единым стилем изложения мы столкнулись с рядом трудностей. Прежде всего, разные главы существенно отличаются друг от друга по характеру и сложности. Отчасти это связано с тем, что сам предмет лежит где-то посредине между чистой математикой и теоретической физикой, отчасти с тем, что излагаемый материал является смесью стандартной теории и новых результатов, еще не нашедших отражения в книгах. Надеемся, что читатель признает успешными наши попытки ввести упорядочение и выдержать единый стиль изложения. Далее, мы, разумеется, не смогли охватить всех тем, касающихся связи между операторными алгебрами и квантовой статистической механикой. Например, мы совсем не упоминаем об открытых системах, необратимости и полугруппах вполне положительных отображений, поскольку эти вопросы рассмотрены в недавно вышедших монографиях [ [Dav 1]], [[Eva 1]].
Работа над книгой заняла период с сентября 1976 г. по июль 1979 г. Большая часть глав 1—5 была написана во время пребывания авторов в Марселе, в Университете Экс—Марсель II (Люмини) и в Центре теоретической физики при Национальном центре научных исследований (НЦНИ). Значительную часть этого времени У. Браттели пользовался поддержкой Норвежского совета по исследованиям в области естественных и гуманитарных наук, а остальное время занимал должность адъюнкт-профессора в Люмини. Глава 6 была написана частично в Университете Нового Южного Уэльса, частично в Марселе и в Университете Осло.
Машинописный вариант глав 2—4 и половины главы 5 был подготовлен в марсельском Центре теоретической физики НЦНИ, а большей части остального текста — на факультете чистой математики Университета Нового Южного Уэльса. Нам приятно поблагодарить мадемуазель Мариз Коэн-Солаль, мадам Долли Рош и миссис Мэйду Шахинян за их труд.
В процессе работы над книгой мы имели полезные обсуждения с целым рядом коллег. Мы благодарны Гэвину Брауну, Эду Эф-фросу, Джорджу Эллиотту, Уффе Хаагерупу, Ричарду Хёрмэну, Даниэлю Кастлёру, Акитаке Кисимото, Джону Робертсу, Рэю Стритеру и Андрэ Вербёру за ценные замечания и поправки, внесенные в первоначальные варианты рукописи.
Особая наша признательность — Адаму Маевски, прочитавшему весь окончательный вариант и исправившему много ошибок.
Осло и Сидней 1979
Ула Браттели Дерик У. Робинсон
1. ВВЕДЕНИЕ
Теория алгебр операторов, действующих в гильбертовом пространстве, возникла в 30-е годы с появлением серии статей фон Неймана и Мюррея — фон Неймана. Главными мотивировками этих авторов были применения к теории унитарных представлений групп и анализ некоторых аспектов квантовомеханического формализма. Они весьма подробно изучили структуру семейства алгебр, которые теперь называют алгебрами фон Неймана или W* -алгебрами. Отличительным свойством этих алгебр является их замкнутость в слабой операторной топологии; равномерно замкнутые операторные алгебры, так называемые С*-алгебры, были охарактеризованы и частично изучены лишь в 1943 г. Гельфандом и Наймар-ком. Несмотря на объявленные Мюрреем и фон Нейманом цели, теория операторных алгебр более 15 лет не находила существенных применений к теории представлений групп, а ее значение для анализа формализма квантовой механики было вполне оценено лишь по прошествии более чем 20 лет. Однако затем последовал период плодотворного взаимодействия математических и физических идей, давший, с одной стороны, интересную структурную теорию операторных алгебр, а с другой — важные физические приложения, особенно в квантовой статистической механике. Мы намерены изложить эту теорию и эти приложения. Новые достижения в теории операторных алгебр нашли также дальнейшие приложения в теории представлений групп и релятивистской теории поля, но этих вопросов мы коснемся лишь вскользь.
