Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы лучше уяснить себе значение операторных алгебр для математической физики, а заодно составить представление о том, как развивалась теория, полезно проследить историю предмета более подробно.
В конце 1924 и в начале 1925 г. Гейзенберг и Шрёдингер независимо предложили эквивалентные, хотя на первый взгляд совершенно различные, формализмы, объяснявшие эмпирические правила квантования Бора и Зоммерфельда. Правила квантования возникли как вспомогательное средство для классификации экспериментальных данных, накопленных за предыдущие два десятилетия и указывавших на наличие атомной и субатомной структуры, не укладывающейся в рамки общепринятой классической механики
10
I. Введение
Ньютона. Первоначальные формализмы Гейзенберга и Шрёдин-гера, известные как матричная и волновая механика, были почти сразу синтезированы и дали в результате нынешнюю теорию строения атомов, или квантовую механику. Эта теория радикально отличается от всех предшествовавших физических теорий в том отношении, что имеет вероятностную интерпретацию-, а потому означает в философском плане замену классического детерминизма на индетерминизм.
В формализме Гейзенберга компоненты вектора импульса частицы и ее координаты отождествляются с операторами pt и qj, удовлетворяющими каноническим коммутационным соотношениям *>
а уравнение, определяющее изменение любого такого оператора А с течением времени /, имеет вид
dAt __ i (HAt — А(Н)
В этом уравнении й — постоянная Планка, а И — оператор (гамильтониан), который обычно является функцией положения и импульса частиц, скажем
где первый член (сумма) отвечает кинетической энергии п частиц с массой т, а второй член — энергии взаимодействия между этими частицами. Хотя первоначально формализм Гейзенберга был предложен в терминах матричных операторов, несложное вычисление с использованием коммутационных соотношений показывает, что в каждой паре операторов pt, qt по крайней мере один должен быть неограничен. Поэтому вместо матриц стали рассматривать операторы, действующие в бесконечномерном гильбертовом пространстве ф. При этом принимается следующая физическая интерпретация: каждому вектору соответствует некоторое
состояние системы, и если вектор -ф нормирован, т. е. |т|з|| = 1, то число (я|), A совпадает со средним значением наблюдаемой А в момент времени t.
Что касается волновой механики Шрёдингера, то она прямо была сформулирована на языке функций я);, зависящих от п
11 Ниже i играет двоякую роль — индекса и мнимой единицы. — Прим. перев.
PiPi— PjPi = 0 '= giQj - 4j4i, Pi4i - 4iPi = —
dt
ft
1. Введение
11
переменных — координат частиц. Функция г)) представляет состояние системы, а динамика системы частиц массы т с коллективным взаимодействием V определяется уравнением Шрёдингера
«Й (*!, ¦ • •, *„) =
^ +у {хъ i=i * /
Мера на R'1 с плотностью | |2,
dpt (*i, • • •. хп) = | тр/ (лгх, • • • > хп) |2 dxx ... dxn,
с физической точки зрения задает вероятность обнаружить частицы в соответствующем (измеримом) подмножестве пространства R” в момент времени t, при условии что система пребывает в состоянии
г)). При этом предполагается, что г)); — вектор гильбертова пространства L2 (R”), имеющий единичную норму.
Связь между двумя формализмами и их эквивалентность устанавливаются с помощью отождествления § = L2 (R'1) и формул
(Pity) (*i> ¦ • • - хп) = — iti (хг, ..., х„),
(qity)(Xi, .. ., хп) = х^(х1г . . х„),
(Hty)(xlf ..., хп) =
А- + V7 (qv,...., q„)J tyj (xlt .... xn).
Динамические алгоритмы взаимно дополняют друг друга в соответствии с правилом
(гр, Atty) = (г)),, Atyt),
где А и ty обозначают At и % при t = 0.
Описанная выше связь между формализмами Гейзенберга и Шрёдингера прояснилась на рубеже 20-х и 30-х годов благодаря работам Стоуна и фон Неймана, в которых был последовательно развит математический аппарат квантовой механики и было также показано, что эта теория по существу единственна. Прежде всего, Стоун и фон Нейман распространили спектральную теорему Гильберта на произвольные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Эта обобщенная спектральная теорема позволяет сопоставить каждому такому оператору А некоторую проекторнозначную меру на вещественной прямой (спектральное семейство) Ел (А,), так что для любого единичного вектора г|)
12
1. Введение
возникает вероятностная мера с функцией распределения ? R н-(if, Еа (Я) г|)). В интерпретации квантовой механики, предложенной фон Нейманом, эта мера определяет распределение значений, полученных при измерениях наблюдаемой, отвечающей А, при условии что перед измерением система находилась в состоянии г|). При этом функции от наблюдаемых могут вновь трактоваться как наблюдаемые, а именно, если / — вещественная боре-левская функция, то функцией / от наблюдаемой, представляемой оператором А, будет наблюдаемая, для которой распределение вероятностей значений в состоянии я|з имеет вид В (i|), Е (У-1 (В)) г);), где В пробегает борелевские подмножества вещественной прямой, и эта последняя наблюдаемая представляется оператором / (А). В частности, операторы Л2, Л3, ... имеют смысл наблюдаемых.
