Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, в 1930 г. Стоун доказал, что для всякого непрерывного унитарного представления вещественной прямой t >—>Ut существует и единствен такой самосопряженный оператор Я, что
на области определения Н, и что верно обратное, т. е. что этим уравнением с самосопряженным Н определяется единственное непрерывное унитарное представление группы R. Связь между U и Я соответствует экспоненциальной зависимости Ut = exp {itH\, и теорема Стоуна показывает, что уравнение Шрёдингера тогда и только тогда имеет единственное решение i|^, удовлетворяющее условию сохранения вероятностей flij), | = Ц-фЦ, когда гамильтониан Н самосопряжен. Это решение записывается в виде = U_/ф, если выбрать систему единиц, в которой й = 1. Соответствующим решением гейзенбергова уравнения движения в таком случае будет
А( = UtAU_t,
а эквивалентность двух динамических описаний следует из соотношений
A^t) = (^-Л> А.И_$) = (Ф> АЛ)-
Наконец, Стоун анонсировал результат о единственности операторов, удовлетворяющих гейзенберговым соотношениям коммутации ptfj —qjpi = —i6tj и т. п., а фон Нейман в 1931 г. дал подробное доказательство этого утверждения. Поскольку pit либо же qit заведомо неограничены, этот результат лучше всего сформулировать в терминах унитарных групп Ut (t) = exp [ipit\, Vj (t) = exp ассоциированных с самосопряженными опера-
1. Введение
13
торами рь qj. Эти группы подчиняются коммутационным соотношениям в форме Вейля
U; [s)Vj(f) = Vj(t)Ui{s)eiMu,
Ut (s) Uj (i) - U} (t) Vt (s) — 0 = Vt (s) Vj (i) - Vj (t) V* (s),
и теорема единственности Стоуна—фон Неймана гласит, что всякое представление этих соотношений непрерывными унитарными группами в гильбертовом пространстве является прямой суммой копий шрёдингерова представления. (В гл. 5 мы выведем этот результат из более общей теоремы для С*-алгебр, порожденных произвольным числом унитарных групп, удовлетворяющих соотношениям Вейля.)
Таким образом, в начале 30-х годов квантовая механика получила прочную математическую основу, и ее постулаты можно резюмировать следующим образом:
(1) наблюдаемая — это самосопряженный оператор А в гильбертовом пространстве ф;
(2) состояние (чистое) — это вектор из ф;
(3) среднее значение (или математическое ожидание) наблюдаемой А в состоянии г|) равно (г|), Лг|));
(4) динамическая эволюция системы определяется заданием некоторого самосопряженного оператора Я, причем в равной мере пригодны описания
А I—> At -= eltHАе ин или vp i—— e~~‘tHty.
Конкретные модели возникают при конкретном выборе А, Я и пр.
Для применения этого формализма к статистической механике требуется ввести незначительное обобщение, связанное с учетом добавочной неопределенности, присущей статистическому описанию. Необходимо ввести более общее понятие состояния. Смешанное состояние со определяется как заданный на наблюдаемых функционал вида
ы(Л) = ? I; (ifc, Л\|;г),
t
где Я; 0, 2г Яг = 1 и ||г|)г-|| = 1. Если все ограниченные самосопряженные операторы в § представляют наблюдаемые, то эти смешанные состояния автоматически будут записываться в виде
и (А) = Тг (рА),
где р — некоторый положительный оператор, имеющий след, равный единице.
14
1. Введение
Затем были предложены различные алгебраические переформулировки описанного выше квантовомеханического формализма. В 1932 г. фон Нейман заметил, что произведение
А.В = Щ™
двух наблюдаемых А, В можно интерпретировать как наблюдаемую, потому что
Л.В„ 14+jy.
Это произведение обладает свойствами дистрибутивности:
А°{В + С) = А»В + Л»С, (В С)° А = В ° А С ° А,
Х(А о В) = (ХА)» В = А°(1В),
и коммутативности: А°В = В»Л, однако оно, вообще говоря, неассоциативно, т. е. (Л°В)°С может не совпадать с А°(В°С). С другой стороны, выполняется следующее свойство, более слабое, чем ассоциативность:
((Л °Л)°В)°Л = (Л°Л)°(ВоЛ).
В 1933 г. Йордан предложил считать наличие такой алгебраической структуры характеристическим свойством множества квантовых наблюдаемых. Алгебры над полем вещественных чисел R, удовлетворяющие этим аксиомам, теперь обычно называют йордановыми. В середине 30-х годов Йордан, фон Нейман и Вигнер нашли классификацию конечномерных йордановых алгебр над R, обладающих добавочным свойством вещественности'.
Ai0 А1 + Л2 ° Л2 -f- • • • -j- Ап ° Ап — 0 => А1 — Л2 = ¦ • • = Ап = 0.
Такие алгебры представляют собой прямые суммы простых алгебр, а все простые конечномерные йордановы алгебры, за одним-единственным исключением, сводятся к алгебрам самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, причем роль йорда-нова произведения в них играет антикоммутатор. Исключительной является алгебра эрмитовых Зх 3-матриц над числами Кэли; она обозначается М®.
