Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
I- Введение
21
жество состояний алгебры 91,. и рассмотренная конструкция задает параметризацию а*—>соа этого подмножества.
Большинство приложений алгебраического^формализма к статистической механике относится к проблемам равновесной статфизики и имеет целью оправдать и развить далее трактовку равновесных состояний как состояний С*-алгебры 91. Можно выделить два направления этих исследований, частично связанных друг с другом, но отличающихся акцентами. Первое из них мы фактически только что кратко описали, во втором же, идущем более окольным путем, стремятся дать характеризацию равновесных состояний без привлечения термодинамического предельного перехода. Тем не менее оба подхода имеют одну и ту же конечную цель— выявление физически значимых свойств множества состояний, отнесенных к равновесным, например доказательство. гладкости термодинамической параметризации этого множества. Теперь обсудим эти два подхода несколько подробнее.
В исследованиях первого типа сначала задаются гамильтонианом НА, который учитывает взаимодействие частиц и граничные условия, связанные с их пребыванием в конечной области А, а затем пытаются построить гиббсовские равновесные состояния системы. Коротко говоря, это состояния вида
Тг (е^РНлл) мл, р / -_вн , \ >
Тг (е 1 л)
где р — обратная температура в подходящих единицах. Таким образом, эта конструкция предусматривает доказательство самосопряженности гамильтониана Яд и принадлежности ехр {—РЯЛ| классу операторов со следом. Далее выясняется, существует ли предел сор состояний соЛ р при А оо. Для исследования этих вопросов привлекается весь обширный арсенал средств функционального анализа, например функциональное интегрирование, неравенства выпуклости, интегральные уравнения. Результаты исследования простейших моделей классической механики хорошо подтверждают априорные соображения. К сожалению, для более реалистических моделей классической и квантовой механики получены лишь частичные результаты, дающие мало информации
о критических явлениях.
В исследованиях второго типа вначале делаются общие предположения о динамике идеализированной бесконечной системы, простейшим и одновременно сильнейшим из которых является следующее: развитие наблюдаемых А во времени (А)
задается некоторой непрерывной однопараметрической подгруппой т группы *-автоморфизмов С* -алгебры 91 всех наблюдаемых. Затем устанавливаются критерии принадлежности данного состоя, ния со на 91 множеству равновесных состояний; они формулиру.
22
1. Введение
ются в терминах свойств со по отношению к т; скажем, очевидному требованию стационарности со соответствует условие инвариантности
для всех А ? 91 и Н ? R- Были получены разные эквивалентные наборы таких критериев. При этом либо исходят из основных принципов, таких как стационарность, устойчивость и эргодичность, либо основываются на аналогии с формализмом Гиббса для конечных систем. Например, запишем формальное тождество
Если принять, что xt (А) является пределом при А -> оо семейства
и воспользоваться определением гиббсовского состояния сод, р, приведенным выше, то можно было бы, свершив формальный переход к термодинамическому пределу, получить для предельных состояний сор соотношение
при всех А, В? 91 и tf?R. Первым это тождество записал Кубо в 1957 г., а в 1959 г. его получили Мартин и Швингер для гиббсовских состояний в конечном объеме. Теперь это соотношение принято называть условием КМШ. В качестве критерия равновесности оно было предложено Хаагом, Хугенхольцем и Виннинком в 1967 г. Это условие включает в себя предположение об аналитичности функции ?ь^сор(бт, (А)) в полосе 0 < Imi < |3 и выражает приближенную коммутативность наблюдаемых под знаком сор. Затем, в общем случае, с цомощью выбранного классифицирующего признака равновесия типа условия КМШ проводится изучение равновесных состояний, а именно стараются доказать их существование, выяснить вопрос о единственности или неединственности и т. п.
Условие КМШ сыграло важную”роль[в объединении математической и физической теорий в значительной мере потому, что почти идентичное соотношение появляется в подходе Томиты к изучению алгебр фон Неймана. В середине 60-х годов Томита сопоставил каждому «точному» нормальному состоянию со на W* -алгебре 9R некоторую каноническую однопараметрическую группу *-автоморфизмов т“. Сам Томита интересовался исключительно проблемами структурного анализа алгебр, но в 1970 г. Такесаки показал, что такое состояние со удовлетворяет условию КМШ по отношению к группе тш, с тем лишь небольшим отличием, что уже не обяза-
Тг (е~^в(,
' I (t+ф) НЛде~‘ (*+‘Р> нА
exp \ИНл} A exp {— itHA\,
(xt (А) Щ = сор (йт/+гр (Л))
1. Введение
23
тельна непрерывность функции t<—>тf (Л), Л?2Я, по норме. Теория Томиты—Такесаки будет подробно изложена в главе 2, а с условием КМШ читатель встретится в главе 5.
