Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 2.1.11. Пусть %—коммутативная С*-алгебра. Тогда 91 изоморфна алгебре С0 (X) непрерывных функций на некотором отделимом локально-компактном пространстве X, обращающихся в нуль на бесконечности.
Доказательства этих теорем приведены в пунктах 2.3.4 и 2.3.5.
2.2. Функциональное исчисление и спектральный анализ
2.2.1. Резольвента, спектр и спектральный радиус
К числу важнейших среди элементарных функциональных зависимостей, изучаемых в вещественном и комплексном анализе, принадлежат обратная зависимость и экспоненциальная. Функция г ? С (к— г)"1 ? С играет главную роль в преобразовании Коши, а функция х ? Ri—>ехр \i\x\ ? С позволяет ввести преобразование Фурье. Обе эти функции чрезвычайно важны для обобщения обычного функционального исчисления на алгебраические структуры. Изучение обратной функции сразу же приводит к понятиям резольвенты и спектра, и мы разберем эти понятия применительно к элементам С*-алгебры.
Если 91 — алгебра с единицей И, то элемент А ? 91 называют обратимым, когда существует такой элемент А _1 ? 91, обратный для А, что
АА -1 = И = Л “М.
Из этого определения непосредственно выводится целый ряд элементарных заключений. Если А обратим, то обратный элемент единствен; он, в свою очередь, обратим и (Л^1)-1 = А; если А и В обратимы, то обратим АВ и (АВ)'1 = 5-1Л-1; если 91 является *-алгеброй, то из обратимости А следует обратимость А* и (Л*)-1 = = (А-1)*.
Определение 2.2.1. Пусть 91 —алгебра с единицей И. Резольвентным множеством (А) элемента Л (_ 91 называется множество чисел % ? С, для которых обратим элемент Я.И — Л. Спектр Ogj. (Л) элемента Л определяется как дополнение к (Л)
в С. Резольвентой А в точке А, ? (Л) называется элемент
(М — Л)"1.
Спектр элемента произвольной алгебры может быть, вообще говоря, любым, но в случае банаховых алгебр, и в частности С*-алгебр, он, как мы увидим, устроен очень просто.
2.2. Функциональное исчисление и спектральный анализ
33
Для изучения резольвент и спектров разработаны различные методы. Пожалуй, удобнее всего воспользоваться разложением в ряд и аналитическим продолжением. Предположим, что X ? С и > IЛ ||, тогда частичные суммы ряда
образуют последовательность Коши в равномерной топологии. В силу полноты, ряд должен определять некоторый элемент из 21, и легко проверить, что это обратный для УЛ— Л. Тем самым X ? (А) и спектр (А) ограничен: (A) s {X; X ? С,
|Х| с IА!}. Более общим образом, при Х0 ? (А) и |Х — Х0| <
<||(М — Л)-1!-1 ряд Неймана
определяет некоторый элемент из 91, и прямым подсчетом проверяется, что это элемент (ХН — Л)-1. Значит, X ? (А). Эти рассуждения показывают также, что (А) открыто и X н-э- (ХН — Л)-1
непрерывно на ^ (Л). Спектр (Л) как дополнение к ^(Л)
автоматически замкнут и, следовательно, компактен. Можно показать, что он непуст.
Предложение 2.2.2. Пусть А — элемент банаховой алгебры с единицей. Определим его спектральный радиус р (Л) формулой
причем предел существует. Следовательно, спектр (А) — непустое компактное множество.
Доказательство. Пусть |X|n > \\Ап\\ при некотором целом л> 0. Всякое т ? Z представимо в виде т = рп + q, где р, q ? Z и 0 <: q <: п, поэтому опять легко убедиться, что ряд
Z(X0-X)m(XJ- АГт~1
p(/l) = sup{|H Я?ащ(Л)(.
Тогда
Р (А) = limI Л" ||1/n = inf I Ап ||1/п < || Л ||,
П
m> 1
сходится по норме к (А.Ц — Л)"1. Значит,
р (Л) <|| Л" И17"
34
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
при каждом га> 0, и потому р (Л) < inf || Anf^n < lim inf || Ап f^n.
П Л-Voo
Для завершения доказательства достаточно будет установить, что р (Л) >¦ ГА< где-
га = linfsup 1 Л" f,n-
п-> оо
Имеются две возможности.
Рассмотрим сперва случай, когда 0 € гщ (А), т- е- А обратим. Тогда 1 = = ||Л"Л-'1||<||Лл||||Л-'г||, так что и следовательно, ^>0.
Тем самым г = 0 означает, что 0 ? (Л) и р (Л) > г .
Теперь предположим, что г > 0. Нам понадобится такое простое наблюдение. Если Ап — последовательность элементов, для которых существуют Rn = = (11— Ап)'1, то 11 — Rn = —Ап (И — АпГ1 иЛя= —(11 — /?„)(К — (i — Rn))'1. Поэтому условия |11 —|] —>- 0 и ]|Л„|| —»-0 эквивалентны (проверка разложением в степенной ряд).
Введем SA = (Я; Я ? С, |Я| >-гА^ и покажем, что предположение ~ rWi ^ приводит к противоречию. Пусть ю ? С — примитивный корень п-й степени из единицы. По предположению,
*=i
при всех X ? SA корректно определены. Но элементарные выкладки 1> убеждают в том, что
/ Ап \ —1
