Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
A=U\A\,
где U = А | А |-1. К тому же U*U = 11 и U обратим (t/-1 = | А | Л-1). Значит, U — унитарный элемент 91; более того, он лежит в С*-под-.алгебре, порожденной Л и Л*. Такое разложение Л ¦— частный случай так называемого полярного разложения. Вообще полярное разложение определено для операторов в гильбертовом пространстве; оно представляет всякий замкнутый плотно определенный оператор Л в виде произведения Л = V (Л*Л)1/2 частично изометрического оператора V и положительного самосопряженного | Л | = (Л*Л)1/2. Это и другие свойства, относящиеся к гильбертов вым пространствам, иллюстрирует
Пример 2.2.15/Пусть 3? (ф) обозначает алгебру всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ф; это С*-алгебра, согласно примеру 2.1.2. Для А ? 3? (ф) абстрактное определение положительности равносильно представимости А в виде А = В*В, В ? 3? (§), откуда (я|), Ая|)) = || бя|)||2 >• 0 для каждого я|) ? Последнее свойство в теории операторов часто принимается за определение положительности; убедимся, что такое определение эквивалентно абстрактному. Если значения (я(?, Аг|?) положительны, то они вещественны и потому ("ф, Ля])) = i|>). Тождество поляризации
1 3
(1|), Аф) = — ? i~k ((i|> + ‘Ч)> а Ч + ikф))
* k=o
показывает, что (i|j, Аф) = (ф, Аг|)) для всех г|з, ф ? ф, т. е. А самосопряжен. Но при Я < О
i(A-M)tlla = M4>lla-t2[^K^ iH)+X*||i|>P>W||i|>||*,j
так что А —Xfl обратим. Следовательно, a (A) s [О, ||А||] и А положителен в смысле прежнего определения.
2.2. Функциональное исчисление и спектральный анализ
47
Пример 2.2.16. Пусть А ? 3! (ф) и | А | = (А*А)1^. Зададим оператор V на всех векторах вида | А | if, полагая
V | А | if = Aif.
Этот V — корректно определенный линейный оператор, потому что | А | if = О равносильно 0 == ||\А | if || = || <4if ||, т. е. <4if = 0. Далее, V изометричен, ибо || V | А | if || = ||/4if |j = |Л| if. Можно расширить V до частично изометрического оператора в §, доопределив его нулем на ортогональном дополнении множества {\А | if; if?§} и расширив по линейности. Так получается полярное разложение А: А — V\ А \. Это разложение единственно в том смысле, что если А = UB, где В > 0 и U — частично изометрический оператор, причем ?/ф = 0 в точности для тех ф, которые ортогональны области значений В, то U=VviB=\A\. Действительно, А*А = BU*UB = В‘г, откуда В = | А \ — единственному положительному квадратному корню из А*А. Но тогда U\A\~ V\A\, и оба оператора U и V переводят в нуль ортогональное дополнение к области значений оператора |<4|. В общем случае V не обязательно окажется элементом С*-ал-гебры 3tA, порожденной А и А*, хотя, как мы убедились, это так для операторов А с ограниченным обратным. Тем не менее в разделе 2.4 мы увидим, что V будет элементом алгебры, получающейся присоединением к Э1А всех сильных или слабых предельных точек сетей 11 элементов из ЖА.
2.2.3. Аппроксимативные единицы в факторалгебры
В пункте 2.2.1 были приведены примеры С*-алгебр, которые не имеют единичного элемента, и было продемонстрировано, что всегда возможно такой элемент присоединить. Тем не менее часто встречаются ситуации, когда отсутствие единицы имеет первостепенное значение, поэтому полезно ввести понятие аппроксимативной единицы.
Определение 2.2.17. Пусть 3 — правый идеал С*-алгебры 91.
Аппроксимативной единицей для-3 называется сеть l^} положи-
тельных элементов Еа ? 3, такая что:
(1) »я«1 < 1,
(2) из а с р вытекает Еа с Е$,
(3) lima I ЕаА — А || = 0 для каждого А ? 3.
Определение аппроксимативной единицы левого идеала аналогично, только условие (3) заменяется на
(3') lima I АЕа — А || = 0 для всех А ? 3.
Существование аппроксимативных единиц нуждается в доказательстве.
1) Множество °U называется направленным, если, во-первых, в нем определено
частичное упорядочение, т. е. задано для некоторых пар элементов а, (5 ? Щ отношение а ^ р, которое рефлексивно (аса), транзитивно (а с Р и Р су влекут асу) и антисимметрично (а с Р и ^<а влекут Р = а), и, во-вторых, для всякой пары a, Р ? °U найдется такой у ? Щ, что а С у и Р С у. Сетью называют семейство элементов какого-либо множества М, индексированное направленным множеством ‘И.
48
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Предложение 2.2.18. Пусть 3 — правый идеал С*-алгебры^. Идеал 3 обладает аппроксимативной единицей.
Доказательство. Сначала присоединим к Щ. единицу, если ее не было. Рассмотрим множество °U всех конечных семейств элементов из Q. Множество °U можно упорядочить по включению, т. е. если а = {Аг, ..., Ат} и (5 = {Вь ... ..., Вп}, то а >¦ Р равносильно тому, что Р — подсемейство семейства а. Каждому такому а сопоставим элемент Fa ? Ж, задаваемый формулой
т
Fa = 2 AtA\,
(=1
