Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Из леммы 2.3.1 немедленно следует, что образ {я (Л); Л ? 91} любого *-морфизма я между С*-алгебрами 91 и 93 также является С*-алгеброй. Ясно, что этот образ будет *-алгеброй, а замкнутость следует1} из свойства непрерывности ||я (Л)|| < || А ||.
Если *-морфизм я из 91 в 93 есть взаимно-однозначное отображение на, т. е. образ я совпадает с 93 и каждый элемент из 93 является образом единственного элемента из 91, то я называется
1) См., например, следствие 1.8.3 в [[Dix2]| и следующий абзац.— Прим. перев.
2.3. Представления и состояния
51
* -изоморфизмом. Тем самым *-морфизм я С*-алгебры 91 на С*~ алгебру 23 будет *-изоморфизмом тогда и только тогда, когда ker я = {О}, где ker я обозначает ядро я, т. е. множество
ker я = {А (j 21; я (А) = 0}.
В общем случае это ядро оказывается замкнутым двусторонним идеалом в 21. Действительно, если А (j 21 и В (j ker я, то я (АВ) = = я (А) я (В) = 0 и я (ВА) = я (В) я (А) — 0, а замкнутость сразу следует из оценки || я (А) || < || А ||. Следовательно, можно ввести факторалгебру 21я = 2I/ker я, элементами которой являются классы А = \А + /; / (j ker я}, и 21я, согласно предложению 2.2.19, есть С*-алгебра. Морфизмом я индуцируется морфизм
я из 21я в 23: я (Л) = я (Л). Так определенный я имеет по построению нулевое ядро; значит, это изоморфизм алгебр 21я и я (21J ? 23.
Теперь можно дать основное определение теории представлений.
Определение 2.3.2. Представление С*-алгебры 21 — это пара (§, я), состоящая из комплексного гильбертова пространства ф и *-морфизма я алгебры 21 в SB (ф). Представление (§, я) называется точным в том и только том случае, если я есть ^-изоморфизм алгебр 21 и я (21), т. е. если ker я = {0}.
С этим определением естественно связан ряд других терминов. Пространство ф называется пространством представления, операторы я (Л) называются представителями Я, и, неявно отождествляя я и множество представителей, я также именуют представлением 21 в .?>.
В абзаце перед определением 2.3.2 мы фактически установили, что всякое представление (ф, я) С*-алгебры 21 порождает точное представление факторалгебры 21я = 2t/ker я. В частности, каждое представление простой С*-алгебры точно. Точные представления наиболее важны, поэтому полезно располагать критерием точности.
Предложение 2.3.3. Пусть (?, я) — представление С*-алгебры 21. Это представление точно тогда и только тогда, когда выполняются эквивалентные условия:
(1) ker я = |0|,
(2) I я (Л) I = | Л I для всех А (j 21,
(3) я (Л) > 0 для всех А > 0.
Доказательство. Условие (1) равносильно точности по определению. Покажем, что (1) =*- (2) =*- (3) =*- (1).
(1) => (2). Так как ker я = {0}, можно задать морфизм я-1 из образа я в St, полагая я'1 (я (Л)) = А. Применение леммы 2.3.1 к я'1, а затем к л, дает
• \\А || = |1 я-i (я (Л)) 1 <|| я (А) 1| <|| Л ||.
(2) =ф-(3). Если Л > 0, то ||Л || > 0, а значит, и ||я(Л)||>0, так что я (Л) =f= 0. Но я (Л) > 0 по лемме 2.3.1, следовательно, я (Л) > 0.
52
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
(3) =>- (1).. Если условие (1) не выполняется, то найдется такое В ? ker я, что В ф 0 и я (В*В) = 0. Но так как || В*В || > 0, a |JB*BJ| = )| В |)2, то В*В >
> 0, и условие (3) нарушается.
Определим *-автоморфизм т С*-алгебры 21 как *-изоморфизм-21 в себя, т. е. т — это *-морфизм 21 с образом, равным 21, и нулевым"* ядром.
Принимая во внимание обратимость т, из приведенных рассуждений получаем
Следствие2.3.4. Всякий *-автоморфизм тС*-алгебры% сохраняет норму, т. е. || т (А) || = || А || для любого А ? 21.
Этот результат, который по существу является переформулировкой следствия 2.2.6, можно вывести прямо из формулы для спектрального радиуса. Можно было бы с помощью этой формулы получить также другое доказательство свойства непрерывности, сформулированного в лемме 2.3.1.
Обратим теперь внимание на различные типы представлений и методы композиции и декомпозиции представлений.
Введем понятие подпредставления. Если (ф, я) — представление С*-алгебры 21 и ^ — подпространство в ф, то называется инвариантным (или устойчивым) относительно я, если я (А) ^
? при всех А ? 21. Если подпространство замкнуто и Р^ — ортогональный проектор в § с областью значений то инвариантность относительно я означает, что Я©1я(^4)^©1 = для любого А ? 21. Следовательно,
к (А) Р^ = (Рфя (Л*) P^f = (я (Л*) Р^у = Р^п (Л)
для всех Л ? 21, т. е. проектор коммутирует с любым из представителей я (Л). В обратную сторону, из этого свойства коммутативности получаем, что инвариантно относительно я. Следовательно, фх является инвариантным подпространством для я тогда и только тогда, когда
n(A)P^ = Рфгп(А)
при всех Л .? 21. Можно также проверить, что если фг — инвариантное подпространство представления я, а я2 определяется формулой
Л1 (А) = p$!n (A) P$v то и (фх, Я!) окажется представлением 21. Действительно,
