Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Вместо термина «неприводимое представление» употребляется иногда термин «топологически неприводимое представление», в таком случае «неприводимость» трактуется как отсутствие всяких нетривиальных инвариантных подпространств, замкнутых или незамкнутых. Оказывается, что для представлений С*-алгебр оба эти понятия совпадают, но на доказательстве их эквивалентности мы не останавливаемся.
Имеются два стандартных критерия неприводимости.
Предложение 2.3.8. Пусть Ш —самосопряженное множество ограниченных операторов в гильбертовом пространстве §• Следующие условия эквивалентны:
(1) ЭЙ неприводимо-,
(2) коммутант Ш' множества ЭК, т. е. множество всех ограниченных операторов в §, коммутирующих со всеми А ? 3R, состоит из операторов вида ЯП, X ? С, т. е. из операторов, кратных единичному оператору в
(3) либо всякий ненулевой вектор ф (; § является циклическим для ЭЙ в ?, либо 3R = {0} и § = С.
Доказательство. (1) => (3). Допустим, найдется такой ненулевой ij), что {Лг)); Л ? 9К} неплотно в Ортогональное дополнение этого множества должно тогда содержать ненулевой вектор и должно быть инвариантным для (за исключением случаев = {0}, § = С), а это противоречит (1).
(3) =* (2). Если Т ? Ж', то Т* ? ЭК', а также Т + Т* ? ЭК' и (Т — T*)/i ? ? ЭК'. Тем самым если Ш1' ф СИ, то найдется такой самосопряженный оператор
S ? 501', что S Ф ЯП ни при каком Я ? С. Так как все ограниченные функции оператора S должны также принадлежать коммутанту, то и спектральные проекторы S будут коммутировать с ЭК. Но если Е — такой проектор, а •ф — ненулевой вектор из его области значений, то ij) = ?Hj) не может быть циклическим, в противоречие с (3).
(2) => (1). Если (1) нарушается, то найдется замкнутое подпространство инвариантное относительно^^. Тогда Р^ ?'2К' и. (2) не выполнено.
В заключение этого краткого обзора свойств представлений отметим, что, располагая каким-либо представлением (?, я) С*-алгебры 21, легко конструировать другие представления.
56
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Например, если U — унитарный оператор в f>, то можно ввести ли, полагая щ, (А) = Un (A) U*; тогда (ф, пи) — новое представление. Однако такого рода отличие представлений несущественно, и мы назовем два представления (§1; и (|>2, лг) эквивалентными (или унитарно эквивалентными), если существует такой унитарный оператор U из f>2 в §i> что1'
щ. (А) = Uп2 (A) U* для всех А ? 91. Эквивалентность пг и я2 обозначается символом
•ГТ^
2.3.2. Состояния
Хотя мы уже обсудили некоторые свойства представлений С*-алгебры 91, само существование представлений еще не было доказано. И в доказательстве существования, и в построении конкретных представлений важную роль играют положительные линейные формы, или функционалы, на 91. Обозначим через 91* сопряженное, или двойственное, к 91 пространство, т. е. пространство непрерывных линейных функционалов на 91, и введем в нем норму, полагая для функционала / на 91
ll/ll = sup { | / (А) |; IЛI = 1}.
Особенно интересны линейные функционалы с добавочными свойствами.
Определение 2.3.9. Линейный функционал ш на С*-алгебре91 называется положительным, если
<о(ЛМ)>0
для всех А ? 91. Положительный линейный функционал ю на 91 с || <в I =] называется состоянием.
Обращаем внимание читателя на то, что в определении положительности не присутствует требование непрерывности. Дело в том, что в случае С*-алгебр непрерывность оказывается следствием положительности, как показывает приводимое ниже предложение 2.3.11. Отметим также, что положительность формы ю эквивалентна тому, что на положительных элементах значения со положительны, поскольку всякий положительный элемент представим в виде А*А.
Происхождение понятия состояния и его роль лучше всего проиллюстрировать, предположив, что С*-алгебра 91 имеет некоторое представление (f>, я). В таком случае всякому ненулевому вектору"^ ? § сопоставим'! форму сод, задаваемую формулой
<oq(A) = (Q, n(A)Q)
11 U'¦ -*• -©I — изоморфизм гильбертовых пространств; можно отожде^
ствить U* с U'1. —Прим. перев.
2.3. Представления и состояния
57
при всех А ? 91. Ясно, что сод — линейный функционал на 91, который к тому же положителен, так как
оа(А*А) = (|я(Л)Й||2 ^0.
Можно проверить, например, привлекая предложение 2.3.11 и следствие 2.3.13 (см. ниже), что || <oq || =1 всякий раз, когда I ?2 ||= 1 ил; невырожденно, так что сод — состояние. Состояния такого типа обычно называют векторными состояниями представления (ф, я). Хотя приведенный пример состояния кажется, довольно специальным, впоследствии мы убедимся, что он отвечает общему случаю. Каждое состояние С*-алгебры в некотором представлении окажется векторным. Обсуждению связи между состояниями и представлениями предпошлем рассмотрение некоторых общих свойств состояний.
Эксплуатировать положительность состояний мы будем, главным образом, привлекая обобщенное неравенство Коши—Шварца.
