Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, остается доказать, что В — единственный положительный элемент со свойством А = В2. Вначале заметим, что проведенную нами конструкцию можно применить к В и получить такой положительный С, что В = С2. При этом С будет лежать в алгебре, порожденной В, а она, разумеется, совпадает с 3tA. Значит, Л, В и С коммутируют друг с другом. Предположим теперь,
что нашелся другой положительный элемент В', .квадрат которого В'2=Л, и пусть С' — положительный элемент с С'2 = В'. Очевидно, С' коммутирует с В' и потому С’А = С'В'2 = В'2С' = АС'. Но тогда С' коммутирует и с В, и с С, которые лежат в ЖА. Таким образом, оказывается, что коммутируют друг с другом Л, В, В', С и С'. Далее,
О = (В2 — В'2)(В — В')
= (В — В') В (В — В') + (В — В') В' (В — В')
= ((В - В’) СГ + ((В — В’) С')2.
1} Интеграл берется уже вдоль кривой в С, охватывающей ст (Л). Ссылки на литературу см. в замечаниях и комментариях. —Прим. перев.
42
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Оба слагаемых в последнем выражении положительны, а их сумма равна нулю, поэтому они тоже равны нулю (если X = ((В — В') С)2, то и X ? ЗГ+ и —X ?
б 5t+, откуда а (X) = 0, или X = 0). Разность этих элементов равна (В — В')3 = = 0, так что || (В — В’)31| =- 0. Применяя предложение 2.2.2 и теорему 2.2.5, находим р (В — В’) = 0 и || В — В' || = 0, т. е. В = В’.
Доказанное утверждение позволяет принять следующее определение квадратного корня из положительного элемента А в С*-алгебре 21: это единственный положительный В ? 21, для которого В2 = А. Этот квадратный корень из А обозначают либо VА, либо Ат. Если А самосопряжен, то можно ввести его модуль как У А2. Этот модуль, или абсолютную величину, обозначают символом \А\.
Примечание. Алгоритм построения квадратного корня с помощью интеграла позволил доказать принадлежность Л1/2 подалгебре, порожденной А. После того как это свойство и единственность Л1/2 установлены, можно применять и более простые алгоритмы. Например,
Л1/2 = ||Л||1/2
2 е" Я>1
где сп — коэффициенты ряда Тэйлора для функции х ? [0, 1 ] 1—х ? [0, 1]. Сходимость этого ряда гарантируется леммой 2.2.9.
Теперь рассмотрим свойства всего множества положительных элементов и разложение самосопряженных элементов на положительную и отрицательную части.
Предложение 2.2.11. Множество 21+ положительных элементов С*-алгебры 21 представляет собой равномерно замкнутый выпуклый конус со свойством
21+ Л (-%) = {0}.
Если для самосопряженного элемента A ? 21 ввести Л+ — (| А | ± ± А)!2, то
(1) а± е и+,
(2) А = А+ - Л_,
(3) Л+Л_ = 0.
Более того, А± — единственные элементы с этими свойствами.
Доказательство. Ясно, что достаточно провести доказательство для ЗГ с единицей. Если A ? 3t+ и X >. 0, то ХА ? 31+ по лемме 2.2.9. Следующим шагом
2.2. Функциональное исчисление и спектральный анализ
43
будет проверка того, что для А, В ? й+также и (А + 2?)/2 ? St+. Можно ограничиться случаем || А || = 1, Ц В [| = 1. Но тогда || (A -j- В)/21| < 1 и
А+В
<
1И -А II , || И — Д |
1;
последнее неравенство вытекает из первого утверждения леммы 2.2.9. Теперь можно сослаться на второе утверждение этой леммы. Далее, как мы уже отмечали, А ? St+ f| (—St+) означает, что а (А) = 0, а это для самосопряженного А влечет || А || = 0 и А = 0. Для доказательства замкнутости ЭГ+ рассмотрим такие Ап ? Ш+, что || Ап — А 0. Тогда || Ап || — \\А ||-> 0. Но Ап ? Ш+ равносильно тому, что |||| Л„|| 11—Ап\\ sg; ЦАп ||, и, переходя к пределу, получаем || || А || 11 — А || ;=С || Л || , что равносильно А ? Ж+.
Займемся утверждением о разложении. Очевидно, что А — А+ — А_, а
4 А+А_ = А2—|A|A + A|A|-A2 = 0,
так как А коммутирует с | А | = VT\ принадлежащим абелевой алгебре, порожденной А2. Докажем положительность А+ (для А_ доказательство аналогично). Вначале зададим Ап формулой
Ап= «0 + пА1)~'А\
и заметим, что
An I А | — АпА+>
Далее проведем оценку
[[ Ап\А\-А+ f = I п (1 + nAl)-1 А3+ _ А+ f = [ (А + пА+)~1 А+12
НЮ + пА1)~2А1\\
< J (И + пА^~1 Al 11 (А + пА^-х I
= JL 11 _ (l + nAl)-1 IJ (А + nAl)-1 11-
Спектр 11 + пА^_ принадлежит [1, + оо), поэтому спектр (fl + пА+)~1 лежит
в [0, 1 ], согласно предложению 2.2.3. Отсюда получаем, что
II Л» [ Л|-Л+||<л-1/2.
Таким образом, Л+ оказывается равномерным пределом Ап | А |. Но | А |, А2 и прочие элементы положительны и коммутируют. Следовательно,
Ап \А | = (| А |1/4 | А+ |>/2 (X + а1)~1/2\А+ |1/2 I Л
Положительность А+ вытекает теперь из замкнутости 3t+.
Наконец, если АА2 ? й+, А = Аj — А2 и AtA2 = 0, то А2 = А2 + -j- А\ = (A-i А2)2. Значит, | А | = Аг-\- А2, в силу единственности положительного квадратного корня, и А+ = (| А | + А)/2 = Av Аналогично А_ = Л2.
