Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Описанное в предложении 2.2.11 разложение А = А+ — А_ часто именуют ортогональным разложением А. Его существованием
44
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
мы воспользуемся при выводе последнего и самого важного характеристического свойства положительных элементов.
Теорема 2.2.12. Пусть А — элемент С*-алгебры 21. Для него эквивалентны условия:
(1) А положителен,
(2) А = В*В при некотором В ?[21.
Доказательство. (1) =*- (2) уже содержится в теореме 2.2.10.
(2) =>- (1). Запишем ортогональное разложение В*В:
В*В = С — D.
Имеем С, D ? 5Г+ и CD = 0 = DC. Надо показать, что D = 0. Сперва заметим, что
(BD)*(BD) = D (С — D) D = —D3 ? — Щ+.
Далее,
BD = S -f iT, где S и Т самосопряженные, и легко проверить, что
(.BD) (BD)* = — (BD)* (BD) + 2 (S2 + Г) ? SC+,
поскольку 2t+ — выпуклый конус. Тем самым a ((BD) (BD)*) = [0, ||5||3 [|?>||2] и, согласно предложению 2.2.3, a ((BD)*(BD) ^ [0, ||5р||Г) |J2]. Но мы уже знаем, что (BD)*(BD) ? —ST+, так что a (D3) = {0}. Формула для спектрального радиуса дает нам ||-D3|| = 0 = ||D ||3, или D = 0.
Теперь рассмотрим некоторые следствия установленных свойств положительных элементов. Так как 2t+ — положительный конус и 21+ П С— 51+) = {О}, можно ввести частичное упорядочение в множестве самосопряженных элементов, приняв, что соотношение А — В > 0 означает принадлежность разности А — В конусу 2t+. Это отношение записывается также в виде А > В или В < А.
Если А > В и А ф В, обычно пишут А > В.
Введенное отношение порядка обладает свойствами:
(1) Из А > 0 и А < 0 следует А = 0. _
(2) Из А > В и В > С следует А > С. Г . .
Кроме того, из специальных свойств положительных элементов С*-алгебры вытекают менее очевидные порядковые соотношения.
Предложение 2.2.13. Пусть А, В, С — элементы С*-алгебры 21. Справедливы следующие утверждения:
а) Если А > В > 0, то || А || > [| В ||.
б) Если А > 0, то А ЦАЦ > А2.
в) Если А > В > 0, то
С*АС > С*ВС > 0
при всех С ? 2L
г) Если 21 имеет единицу, A>-B>-bu%>§, то
(В + ЯП)-1 > (А +ЯИ)-1.
2.2, Функциональное исчисление и спектральный анализ
45
Доказательство, а) Присоединим, если необходимо, единицу 11 к St. Формула для спектрального радиуса из теоремы 2.2.5 дает А ^ || А || П, откуда 0 ^ ^ В ^ || А |) 11, и вторичное применение той же формулы показывает, что || В || ^
^ II А ||.
б) Так как а (А - || А || 11/2) <= [—1| .4 ||/2, || А ||/2], то а ((А — || А || Н/2)2) <= Е [О, I А ||2/4] по теореме 2.2.5, г). Тогда
что равносильно 0 ^ А2 ^ || А || А.
в) Так как А — В ? 5J+, то Л — В = D*D с некоторым D ? ЭХ, согласно теореме 2.2.12. Значит,
С*АС — С*ВС = (DC)* (DC) St+
по той же теореме.
г) Оба элемента А Ы и В -f- ЯП положительны, обратимы и
А + ЯП > В + ЯН > ЯП.
Поэтому из в) вытекает, что
(В + ЯН)“1/2 (А + ЯН) (В + М)~1/2 > А.
Если же X = X* и X > 1, то а (X) = [I, -f- оо) и а (X-1) Е [О, 1 ] по предло-
жению 2.2.3, так что Х~1 ^ 1. Это рассуждение показывает, что
(В + ЯП)1-72 (Л + ЯП)-1 (В + ЯИ)1/2 < 1
Остается домножить обе части на (В-)- ЯП) 2 и воспользоваться частью в),
чтобы получить
(А + ЯП)"1 < (В + ЯП)"1.
Из неравенства предложения 2.2.13, г) можно вывести много других интересных неравенств, умножая его на функции / (А,) и интегрируя по X. Например, если А > В 0, то
ОО
Л1/2, = 7г1^Т7Г (1- +АР)
О
оо
+ = в1/2,
О
т. е. Л1/2 ^ В1/2 > 0. С помощью аналогичных преобразований можно рассмотреть любые дробные показатели 0 < а < 1 и убедиться, что А > В > 0 влечет Л“ Ss Ва > 0. Однако при а > 1 указанное свойство может нарушаться.
Следующая полезная лемма о разложении служит другим примером применения свойств положительных элементов.
Лемма 2.2.14. Пусть С*-алгебра 21 содержит единицу. Всякий элемент А ? 21 обладает разложением вида
А = axUx + a2U2 + fl3t/3 + ^4^4>
46
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
где Ui — унитарные элементы 91, a at ? С удовлетворяют условию к1^М1|/2. .
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай ||Л|| = 1. Тогда А — = /4Х+ iA2 с самосопряженными Аг = (А + А*)/2 и А2 = (А — A*)l2i, у которых || А] ||^ 1, ||/42||^ 1. Но любой самосопряженный элемент В с ||В||^ 1 можно разложить на унитарные элементы: В = (U+ + U_)/2, явно задав 0^. =
— В ± i /П-В2.
В качестве последнего приложения свойства положительности получим еще один тип разложения. Сначала обобщим введенное определение модуля. Если А — произвольный элемент С*-алгебры 91, то элемент А*А положителен по теореме 2.2.11, и мы определим модуль А равенством | А | = J/А*А. Для случая, когда А — самосопряженный элемент, это определение совпадает с прежним. Теперь заметим, что если 51 содержит единицу и 'А обратим, то и А*А обратим и его обратный элемент тоже положителен. Значит, обратим | А | и | А |_1 = {/ (А*А)'1. Но тогда
