Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Я[ (А) я, (В) = (P^n (Л)) (я (В) Р^) = Р^п (АВ) = я, (АВ).
Построенное таким образом представление называется подпред-ставлением представления (ф, я)..
2.3. Представления и состояния
53
Отметим, что указанный метод перехода к подпредставлению задает разложение я в следующем смысле. Если инвариантно для я, то и его ортогональное дополнение тоже инвариантно. Полагая зададим второе подпредставление (§2.
формулой я2 (Л) = Р^2я (А) Р?2. Пространство ? разлагается в прямую ортогональную сумму ф = 0 ф2> и каждый опе-
ратор я (А) можно разложить в прямую сумму я (А) = ях (А) ® ® лг (А). Поэтому принято писать я = ях ф я2 и (ф, я) = = (§1, Ях) ф (§2, я2).
Тривиальное представление С*-алгебры имеет вид я = 0, т. е. я (А) — О для всех А ? 51. Представление может быть нетривиальным, но содержать тривиальную часть. Если положить
то §0 инвариантно относительно я и соответствующее подпредставление я0 = РфолР<^о нулевое. В этих обозначениях, представление с = 101 назовем невырожденным. Вообще, говорят, что множество ЗИ ограниченных операторов действует на § невырожденным образом, если
Важный класс невырожденных представлений составляют циклические представления. Сперва приведем определение циклического вектора для произвольного набора ЗИ ограниченных операторов в вектор й называется циклическим для ЗИ, если {Лй; А ? ЗИ} плотно в §. Теперь дадим
Определение 2.3.5. Циклическим представлением С*-алгебры 31 называют тройку (§, я, й), где (§, я) — представление 51, a Q — вектор из ф, циклический для я в §.
В дальнейшем там, где это не приведет к недоразумениям, мы просто будем говорить «Q — циклический вектор» или «Q цикличен для я». Полезным также оказывается более общее понятие циклического подпространства для я. Это — такое замкнутое подпространство St пространства представления ф, что множество
плотно в ф. Ортогональный проектор Р$ с областью значений R именуют циклическим проектором.
Из этих определений ясно, что циклйческое представление невырожденно. Имеет место и утверждение в некотором роде обратное. Для формулировки его требуется общее понятие прямой суммы представлений.
\t, Лф = 0 у Л ?ЗИ} = {0}.
54
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Пусть (фа, яа)а?;—семейство представлений С*-алгебры 91, причем множество индексов I может быть как счетным, так и несчетным. Гильбертова прямая сумма
ф = 0 ?« а?1
пространств представлений фа определяется обычным образом 1}, а прямую сумму представителей
л = 0 а ? I
задаем, полагая л (А) равным оператору ла (А) на подпространстве фа. В результате получаем ограниченные операторы я (А) в ф, ибо J яа (А) I < I А I при всех а ? I, согласно лемме 2.3.1. Легко проверить, что (ф, я) является представлением 91; его называют прямой суммой представлений (?>а, яа)а^;. Теперь сформулируем
Предложение 2.3.6. Всякое невырожденное представление С*-алгебры 21 является прямой суммой циклических подпредстав-лений.
Доказательство. Рассмотрим в пространстве невырожденного представления (ф, л) максимальное семейство ненулевых векторов, такое что
(л (Л) fia, я (В) Йр) = О
при всех А, В ? St, если а Ф р. Существование такого семейства устанавливается с помощью леммы Цорна. Пусть обозначает гильбертово подпространство в ф, полученное замыканием линейной оболочки множества {я (A)
А ? Ж]. Это — инвариантное подпространство, поэтому можно ввести яа, полагая яа (А) = я (А) Рп . Очевидно, (йа, яа, Qa) — циклическое пред-•Уа
ставление Щ при каждом а. Из максимальности и невырожденности я
выводим, что в ф нет ненулевых Q, ортогональных всем фа; следовательно,
Ф = Ф Фа. л = ф яа.
а ? I a?l
Установленное предложение позволяет свести изучение произвольных представлений к изучению циклических, что весьма важно, ибо существует каноническая конструкция циклических
1> Конечные подмножества F множества индексов I образуют направленное множество относительно упорядочения по включению, и ф состоит из таких семейств векторов гр = {ij)a}, <р ={фа}, фа> tya ? фа, для которых
Iim L I'M© < + 00> lim L I Фа Л© < + °°-F a?F а F a?F “
Скалярное произведение в ф задается формулой
2.3. Представления и состояния
55
представлений, которую мы подробно разберем в пункте 2.3.3. Указанное разложение представления связано с существованием нетривиальных инвариантных подпространств; в отсутствие таких подпространств редукция к циклической ситуации невозможна. Этим оправдано следующее
Определение 2.3.7. Множество 2)1 ограниченных операторов в гильбертовом пространстве § неприводимо, если единственными замкнутыми подпространствами, инвариантными относительно ЗЛ, являются тривиальные подпространства {0} и ?. Представление (?, я) С*-алгебры 91 называется неприводимым, если множество я (91) неприводимо в ?.
