Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
со (А*А) = 0 для всех А ? 31, и из предложения 2.3.11, б) следует, что со (А) =
= 0 для любого А ? ЗС, т. е. to = 0.
62
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Теперь предположим, что со ? Ри со = Яс^ +(1 — Я) <в2, где 0 < Я <
< 1, а <»!, со2 ? Вщ. Тогда со :> значит, Xcoj = (хсо при некотором 0 ^ (х ^
^ 1, в силу чистоты со. Но 1 = || со || = Я || cOjU + (1—Я)||соа |1, так что обязательно || Mj I = 1 = || со21|, поэтому Я = (х и со = %. Аналогично показываем, что со = со2; следовательно, со — крайняя точка для В
Допустим, что а ? Щ* является крайней точкой В^ и со ф 0. Тогда
|| со || = 1. Тем самым со — состояние, и надо проверить, что оно чистое. Если это не так, то найдутся a>i=f= со и Я, 0 < Я < 1, такие что со > Ясо^ Введем со2 = = (со—Яш1)/(1—Я); тогда || <в2 II = (II м II — ^ll®i|V(l—Я) = 1, так что со2 тоже состояние. Но со = Яа^ (1 — А) <в2, а это противоречит тому, что со — крайняя точка.
Множество Вэд- совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних
точек по теореме Крейна — Мильмана. Эта теорема, в частности, утверждает, что крайние точки существуют; a priori это не очевидно.
Если St имеет единицу 11 то является пересечением Вщ с гиперплоскостью со (I) = 1. Поэтому выпуклость, слабая * замкнутость и порождаемость крайними точками получаются для из аналогичных свойств ?щ. Остается
проверить, что Ещ- не будет слабо* компактным, когда 11 ^ St; это будет сделано в пункте 2.3.4.
2.3.3. Конструкция представлений
Если ($, я) — невырожденног представление С*-алгебры 91 и ?2 — вектор в § с || ?21| = 1, то, как было показано в предыдущем пункте, линейный функционал
юд (Л) ~ (Q, я (A) Q)
является состоянием на 91. Такие состояния называются векторными. Теперь мы хотим доказать обратное: каждое состояние является векторным в некотором невырожденном представлении. Таким образом, отправляясь от состояния со, мы должны построить представление (?>а, яа) алгебры 91 и вектор так, чтобы
со можно было отождествить с векторным состоянием соца, т. е.
со (А) = (Йщ, (A) Qa)
при всех Л ? Я.
Идея такого представления очень проста. Сначала разберем, как получить пространство представления ?>ш. Алгебра 91 — это банахово пространство, а с помощью со его можно наделить структурой предгильбертова пространства, вводя положительно-полу-определенное скалярное произведение
(А, В) =со(Л*В).
Рассмотрим множество
= {Л; Л ^ 91, (о(Л*Л) = 0|.
2.3. Представления и состояния
63
Оно оказывается левым идеалом 91, так как для / ? За и "А ? 91
О < © ((Л/)* (Л/)) < 1A f © (1*1) = О,
в силу предложения 2.3Л1, т. е. Л/ ? Зш.
' Зададим теперь классы эквивалентности г|зд, г|зв, положив
Фл= {Л; Л = Л + /, /6 34-
Как легко видеть, эти классы образуют комплексное векторное пространство с операциями, унаследованными от 91, а именно Фа + 'Фв = ^a+bi «'Фа = 'Фаа- Более того, это пространство наделено положительно-определенным скалярным произведением
(Фл. Фв) = {А, В) = а (А*В).
Конечно, корректность этого определения нуждается в проверке; ее легко выполнить, привлекая предложение 2.3Л1. Например, (Фа. 'Фв) не зависит от выбора представителей классов, использованного в определении, поскольку
со ((Л + /J* (В + /,)) = со (А*В) + + со (Л*/2) +
+ со (/f /2) = со(Л’В)
для любых /1( /2 ? 30. Хорошо известно, что предгильбертово пространство с положительно-определенным скалярным произведением можно пополнить, т. е. линейно погрузить в качестве плотного подпространства в гильбертово пространство так, что сохранится скалярное произведение. Такое пополнение и возьмем в качестве
Далее рассмотрим, как вводятся представители (Л). Сперва определим эти операторы на плотном подпространстве в §щ, образованном векторами т|>в, В ? 91, полагая
я<в (Л) у|зв — фЛв.
Отметим, что это соотношение также не зависит от выбора представителя класса 'фд, потому что
лю (^) Фв+/ — ^ав+а/ — Фаб — М) ^в
для / ? За. Кроме того, каждый (Л) является линейным оператором, так как
{А) (Хл|>в + Фс) — {А) Фа,В+С — 'Фа.АВ+АС == М^АВ + Ч*АС
= Ялш(Л)1()в + п:(в(Л)11)с.
Наконец, из предложения 2.3.11, в) следует, что
I Яш (А) Фа Г = (фАВ, 1рАв) = СО (В*А*АВ) < || Л f со (В*В) = || Л f ||г|>в f,
64
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
так чтС яа (Л) обладает ограниченным замыканием, которое мы по-прежнему обозначаем яш(Л). Нужные алгебраические свойства зти легко проверяются; например,
я» (ЛО Ящ (Л2) = уЦ>а,а2в = (АХА2) г|эв,
следовательно, яа (Аг) ла (Л2) = ла (Л1Л2). Таким образом, построено представление (фш, яш).
Остается указать вектор
Если 91 содержит единицу, определим Qa так:
