Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае соответствующее векторное состояние совпадает с со: (Qo,, яи (Л) йш) = (г|зь = со (Л).
Отметим еще, что' множество {я^ (Л) Л (j 91)} в точности совпадает со множеством классов эквивалентности |i|)A; Л (j 91) и, следовательно, — циклический вектор для (§ffl, я^,).
Если 91 не содержит единицы, ее можно присоединить и повторить предыдущую конструкцию для 91, но теперь понадобится дополнительное рассуждение при доказательстве цикличности для множества яю (Щ. По построению множество зтш (91) =
= яю (СИ +91) плотно, поэтому цикличность для яи (91) будет установлена, если принадлежит замыканию множества яы (91) Qw. Выберем в 91 аппроксимативную единицу {.Еа}; тогда
!! (Ел) |Р = I Qm f + 1 яш (Ea) Qa f - 2 (Qa, яи (Ea) QJ
= 1 + CO (Eh) — 2(0 (Ea)
Следовательно,
ИтЦЯщ (Ea) Qe —Йш| = 0, a
в силу предложения 2.3Л1, что и требовалось.
Нами установлена главная часть следующей теоремы.
Теорема 2.3.16. Для всякого состояния со на С*-алгебре 91 существует такое циклическое представление (?а, я^, QJ
алгебры 91, что
со (Л) — (?2И, Ящ (Л) QJ
при всех А ? 91, а следовательно, || f = | со || = 1. Такое представление определено единственным образом с точностью до унитарной эквивалентности.
Доказательство. Остается проверить только единственность. Под ней мы подразумеваем следующее. Если —другое циклическое предста-
вление, для которого при всех А ? Ж
<0 (А) = (Q;, л’п (А) ау,
то найдется такой унитарный Оператор U, отображающий ф на $>'а, что
U-^(A)U^nw(A)
2.3. Представления и состояния
65
при всех А ? Ж и
Укажем такой U. Положим сначала
Unv {A) Q'ro;
тогда
(Una (A) Qa, Una (В) Qm) = (л’а (A) Q'a, п'а (В) Qy
= со (А*В) — (it(J (A) Qm, (В) Qq).
Значит, U сохраняет скалярное произведение, а потому корректно определен. Легко видеть, что замыкание U будет унитарным оператором, обладающим всеми нужными алгебраическими свойствами; детали можно опустить.
Следствие 2.3.17. Пусть со—состояние на С*-алгебре 91 и т — такой *-автоморфизм 91, относительно которого со инвариантно, т. е.
со (т (Л)) = со (Л)
при всех А ? 91. В пространстве циклического представления (ф.0, QJ, построенного по со, существует и единствен такой унитарный оператор Ua, что
Иала (А) и~и = (т (Л))
при всех А ? 91 и
ВДо = йш..
Доказательство. Этот результат получается из утверждения о единственности теоремы 2.3.16, примененного к циклическому представлению (фш, яип, QJ, где я(0°т (Л) - Jtm (т (Л)).
Определение 2.3.18. Циклическое представление (фа, йи), построенное по состоянию со на С*-алгебре 91, называется (каноническим) циклическим представлением 91, ассоциированным с со.
Теперь покажем, что между понятиями чистоты состояния со и неприводимости ассоциированного с ним представления существует тесная связь.
Теорема 2.3.19. Пусть со — состояние на С*-алгебре 91 и (&ю> п(о’ -}ц>) — ассоциированное циклическое представление. Следующие условия эквивалентны:
(1) (§6)1 яю) неприводимо,
(2) со — чистое состояние,
(3) со является крайней точкой множества состояний 91. Кроме того, имеется взаимно-однозначное соответствие
<oT(A) = (TQa, лш(Л)?2т)
66
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
между положительными функционалами соТ на 91, которые мажорируются со, и положительными операторами Т из коммутанта яш представления я.0, у которых || Т || < 1.
Доказательство. (1) => (2). Допустим, что (2) не выполняется. Тогда найдется такой положительный функционал р, что р (А*А) ^ со (А *А) при всех А ? Ш. Применение неравенства Коши — Шварца дает
| р (В*А) |» < р (В*В) р (А*А) < со (В*В) со (А*А) = || яш (В) flm f || яш (Л) йш ||».
Тем самым р: яю (В) X яю(Л)Йю i—> р (В*А) — плотно определенный ограниченный полуторалинейный функционал на X §<,), и в ?)ю существует единственный ограниченный оператор Т, для которого
(пш(В)Вш, Гяю(Л)Йш)=р(В*Л).
Но так как р не пропорционален со, то оператор Т не может быть пропорционален единичному. Далее,
О ^ р (А*А) = (яш (Л) Йш, Тяю (Л) со (А*А) = (яю (Л) Йю, яю(Л)йш),
следовательно, 0^ Т ^ 11. Однако
(ли (Щ ^м> Тпа (С) яш (Л) йи) = р (В*СА)
= р ((С*В) *Л) = (Яи (В) йш, яш (С) Тпа (Л) Йш),
поэтому Т ? Ящ. Значит, условие (1) нарушается.
(2) => (1). Пусть (1) не выполнено. Если Т ? я^, то Т* ? я^ и Т + Т*, (Т — T*)li также принадлежат коммутанту. Поэтому в я^ существует самосопряженный элемент S, который не кратен 11, а значит, найдется его спектральный проектор Р, такой что 0 < Р <1 и Р g я^. Рассмотрим функционал
