Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Е<р, = Ф (t. X)•
Легко видеть, что ф ф и ?ф_ ф = |фЦ2^ ф, поэтому
1|?ф,ф11тг = И11 Тг (ЕЦ\) = II till Ф II-
Следовательно,
I w (?ф, i|)) I ^ IIш IIII ФIIII 'Ф 11-
Теорема Рисса об общем виде линейного функционала позволяет заключить, что существует такой оператор A g 3? (ф) с || А || || со ||, что
w (?ф. -ф) = (^. ^Ф)-
Рассмотрим теперь w0 ? 3~ (ф)*, заданное соотношением
со0 (Т) = Тг (АТ);
тогда
wo (-^ф, ip) ^ Тг т|>) ” -^ф) ~ ^ (^ф, "ф) *
Для всякого Т ? 0~ (,?)) можно указать ограниченные последовательности векторов и {срл} и последовательность комплексных чисел {ап} так, чтобы
I ал I <С 00 и Т = ^ а«^Фл, ^П'
п п
Последний ряд сходится по следовой норме, так что
ш(Г)=2<*по)(?фп1фп)
= s Vo (EVnt *„) = “о (Т) = Тг (АТ).
П
Таким образом, S (ф) совпадает с Э~ (ф)*.
Слабая* топология, связанная с двойственностью, задается полунормами
(Ф) 1 =” | Тг (АТ) |.
Но для
т = ? апЕф гр
П
мы имеем
Тг (АТ) = ? ап Тг /Е ^ А\ = ? а„ (г(5„, Лф„). п 1 п
2.4. Алгебры фон Неймана
77
Значит, эти полунормы эквивалентны полунормам, определяющим а-слабую топологию.
Определение 2.4.4. Пространство ст-слабо непрерывных линейных функционалов на 2 (ф) называется предсопряженньш или преддвойственным пространством алгебры 2 (?>) и обозначается
(?>)•
Как указано в предложении 2.4.3, 2* (ф) можно канонически отождествить с ЧГ (§>) и 2 (?>) = 2% (?)*.
Сильная* и а-сильная* топологии. Эти топологии задаются соответственно полунормами вида
Лн-ЧИ?|| + [|Л*у
и
л^ГЕииа + Efl^lnlM172,
In п J
где (I [|2 < оо. Основное отличие между сильной* и сильной топологией заключается в том, что Лнч» А* непрерывно в первой, но не во второй из них. В остальном доказательство следующего предложения проводится по аналогии с предложением 2.4.1.
Предложение 2.4.5. Сильная* топология слабее, чема-силь-ная*, с которой она совпадает на единичном шаре 2x(§) пространства 2 (ф). В этих топологиях непрерывны At—>А* и умножение как отображение (А, B)t-> А В из 2Х (ф) х 2! (ф) в 2 (?), однако умножение разрывно как отображение 2 (?>) X 2 (?) -> — > 2 (ф), если ф бесконечномерно.
Связь между введенными топологиями в 2 (ф) иллюстрирует следующая схема:
равномерная )> а-сильная* )> а-сильная )> а-слабая
У У У
сильная* )> сильная )> слабая
Здесь «^>» означает «сильнее (тоньше), чем», а в случае бесконечномерного ф — «строго сильнее, чем».
Интересно отметить, что требования непрерывности в а-силь-ной*, а-сильной и а-слабой топологиях выделяют один и тот же класс линейных функционалов на 2 (ф). То же самое верно применительно к топологиям без знака а. Поскольку оба утверждения доказываются аналогично, мы приведем доказательство лишь первого из них.
Предложение2.4.6. Всякий a-сильно* непрерывный линейный функционал со на 2 (%>) непрерывен в о-слабой топологии, т. е. принадлежит 2% (ф), и имеет вид со (А) = (?,, Ах\п), где
SJg„f <оо, II Т}„ f < оо.
Ч
78
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Доказательство. Пусть со — линейный функционал на 3 (ф), непрерывный в сг-сильной* топологии. Тогда можно указать последовательность {!„} в ф, такую что 2„>л 11п ||2 < со и
[? (ИЫ2 + М*Ы12)]1/2.
Пусть где = ?> при re — 1, 2, ..., а при п — —1, —2, ...
Фп = ©. сопряженному с ф гильбертову пространству гК В частности,
? = {..., |2, 1г, ?i, |2, • ¦ •} принадлежит Для всякого fj = г)т; т =
= 1, 2, .... } ? § и всякого Л ? S’(C)) введем Л г] ? §), полагая по определению
Лг] = {Л*г).т, Лг|т; m = 1, 2, . . .j.
Ясно, что Л ? S’ (ф), || Л || = 1 Л || и отображение Л i—> Л линейно. Неравенство для со (Л) показывает, что отображение Л 11-—> со (Л) задает непрерывный линейный функционал на пространстве {Л|; Л ? 3 (ф)}. По теореме Рисса найдется такой элемент Г| ? ф, что
ОО
оз (Л) = (л, Л|) = ? [(т)П1 Л?„) + (U Ац_п)].
п=1
Следовательно, функционал оз является a-слабо непрерывным.
Непосредственным следствием предложения 2.4.6 является совпадение замыканий выпуклых подмножеств 3? (ф).
