Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. По каждому состоянию со алгебры ЗС построим ассоциированное циклическое представление (фа, я(0, Ош) и образуем прямую сумму (?>, я) этих представлений:
?> = © ©и, я = ф яш.
“€ ЕЖ “6 %
Для любого А ? ЗС найдется такое шА, что || А || = || я(ЛА (Л)|| (по лемме 2.3.23). Но || я (А) || > I яаА (Л) || = || А-\\. Поэтому || я (Л) || = || А ||, в силу леммы 2.3.1; следовательно, я — точное представление.
Мы можем также завершить доказательство теоремы 2.3.15. Нам осталось доказать, что множество Ещ состояний алгебры ЗС без единицы не является слабо* компактным. Для этого достаточно показать, что всякая слабая* окрестность нуля содержит некоторое состояние. С учетом того, что каждый элемент алгебры можно представить в виде линейной комбинации четырех положительных элементов, достаточно рассматривать окрестности, индексированные положительными элементами А2. Ап ? 9t+ и е > 0. Введем
А = Ai + . . . + Ап ? Щ+. Достаточно будет найти со ? Е^, для которого
ш (А) < е. Пусть (-5), я) — точное невырожденное представление 91. Всякий оператор я (А), А . ? St, необратим в я (ЗС), поэтому он не имеет обратного и в подалгебре 33= СЦ.+ я (St), где И — единица S’ (§>). (При наличии такого обратного В ? 33 элемент я (А) Ва ( я (Щ) был бы обратным к я (А) 1>.) Со-
*> Алгебра я (St), изоморфная St, является идеалом в 33. — Прим. перев.
2.3. Представления и состояния
69
гласно предложению 2.2.7, л (А) необратим в 3! (?>), поэтому в ф должен найтись единичный вектор (|>, такой что со^, (А) = (г|->, л (A) ij>) < 8. Итак, существует состояние (0ф с требуемым свойством.
В заключение пункта приведем другое следствие теоремы Хана—Банаха, которое часто приходится употреблять.
Предложение 2.3.24. Пусть С*-алгебра 91 имеет С*-подалгебру 23, и пусть © — состояние на 33. На 9Х существует состояние со, продолжающее ю. Если со — чистое состояние, то можно выбрать и со чистым.
Доказательство. Сперва заметим, что можно предполагать наличие у St и S3 общей единицы. К этому случаю всегда можно свести дело, присоединив единицу и канонически продолжив со до й на СИ + при этом для второго утверждения теоремы существенно, что чистота состояния и его канонического продолжения эквивалентны (следствие 2.3.20).
Далее, по теореме Хана — Банаха со обладает линейным продолжением 6 с || 6 || = || со || = 1. Но ш (1!) = со (Ц) = 1, следовательно, ш положительно, согласно предложению 2.3.11, т. е. ш — состояние.
Наконец, пусть Еа обозначает множество состояний на St, продолжающих со. Это — непустое выпуклое подмножество в множестве всех состояний Е^
Кроме того, Еа слабо* замкнуто, а значит, слабо* компактно. По теореме Крейна — Мильмана Еа имеет по крайней мере одну крайнюю точку й. Теперь мы хотим показать, что если со чисто, то и й чисто. Допустим, 6 = Яа»! 4--f- (1 — X) й2 при некотором 0 < X < 1, где и й2 — состояния на St. Сужения сох и со2 этих состояний на S3 будут состояниями алгебры S3, следовательно, со = Ал)! -f- (1 — X) со2. Но по предположению со — чистое состояние, следовательно, сох = со2 = со. Поэтому й1; й2 ? Еа, а так как со — крайняя точка для Еш, то й>1 = й2 = й. Значит, 6 будет крайней точкой Е^, т. е. й — чистое
состояние, в силу теоремы 2.3.19.
2.3.5. Коммутативные С *-алгебры
Обсуждение свойств представлений завершим доказательством структурной теоремы для абелевых С*-алгебр —теоремы 2.1.11. Мы теперь в состоянии получить более точный вариант этой теоремы, в котором явно присутствует описание топологического пространства X. Оно проводится в терминах характеров, определение которых таково:
Определение 2.3.25. Пусть 9Х— абелева С*-алгебра. Характер со алгебры 9Х — это такое ненулевое линейное отображение со: А ? 9ХI—> со (А) ? С алгебры 91 в поле комплексных чисел, что
со {АВ) = со (А) © (В)
при всех А, В ? 91. Спектром о (9Х) алгебры 91 называется множество всех ее характеров.
Характеры — стандартные объекты алгебраической теории, но фактически они не что иное, как чистые состояния. Для проверки этого нам понадобится следующий простой результат.
70
2. С* -алгебры и алгебры фон Неймана
Лемма 2.3.26. Если со—характер абелевой С*-алгебры, то для всякого А ? 91 число со (Л) ? о (А), спектру А. Следовательно,
| со (А) | < I А (| и со (А * Л) 0.
Доказательство. Присоединим, если нужно, единицу и введем функционал 5 на 91 = СИ + 9С, полагая со (ЯП -j- А) — Я -[- со (Л). Тогда ю — тоже характер, так как
й ((ЯП А) (|хЦ В)) = Я(х -j- jxoj (Л) -f- Я со (В) со (Л) со (В)
= й (ЯП •+Л) й (цИ +В).
Значит, без органичения общности можно предполагать, что 11 ? St, и из со (Л) = = со (ЛИ) = со (Л) со (11) и со^Ос необходимостью вытекает со (fl) = 1. Теперь предположим, что Я 0 а (Л). Тогда должен найтись такой элемент В, что (ЯП — Л)В = 1, и в результате имеем
