Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма2.3.10. (неравенство Коши—Шварца). Пусть со —положительный линейный функционал на С*-алгебре 91. Тогда
а) со (А*В) = со (В*А),
б) | со (А*В) |2 < со (А*А) со (В*В) для всех А, В ? 91.
Доказательство. Из положительности со вытекает, что для любых А, В ?
6 st и х е с
ш ((ХА + В)* (kA -j- В)) > 0.
Переписываем неравенство, пользуясь линейностью со:
| X |2 со {А*А) + Ы (А*В) + Н) {В*А) + оз (В*В) > 0.
Условия а) и б) как раз необходимые и достаточные условия положительности этой квадратичной функции.
В качестве первого применения этого результата установим взаимосвязи между положительностью, непрерывностью и норма-лизованностью функционалов на С*-алгебрах.
Предложение 2.3.11. Пусть со—линейный функционал на С*-алгебре 91. Эквивалентны следующие два условия:
(1) со положителен;
(2) со непрерывен и
|| со || = lim со (?«)
а
для некоторой аппроксимативной единицы {.Са} алгебры 91.
Если эти условия выполнены, т. е. со — положительный функционал, то __________
а) со (Л*) = со (Л),
б) | со (Л) |2 с со (А*А) || со ||,
в) |со(Л*?Л)| < со (ЛМ) || Я ||,-
г) || со Ц = sup {со (А*А), || А || = 1}
58
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
при всех А, В ? 31 и
|| «а || = limco (?а),
а
где {?а} —любая аппроксимативная единица в 31.
Доказательство. (1) =>• (2). Положим
М — sup ш (Е\).
Заметим, что при Яа > 0 и 2аЯа < -|- оо мы имеем
Ц Vй (?«)<+seas
Действительно, 2сходится равномерно и монотонно к некоторому Е2 ? ? SI+, поэтому линейность и положительность со дают
Ц (?а) ^ ш (?2)-
а
Это замечание показывает, что М < + со, ибо М — + оо приведет к противоречию.
Далее, применяя неравенство Коши — Шварца (лемма 2.3.10), получаем |со (Л?а)|2^ со(Л*Л)со (?2).
Переходя к пределу по а, находим
| со (А) |2 ^ Ма> {А*А).
Присоединив, если необходимо, единицу и воспользовавшись предложением 2.2.13, получим
ЕаА'АЕ^\\А\?Е1-
следовательно,
Ш(?аЛ*Л?а)^||Л||2со(?2).
Вновь переходя к- пределу по а, находим
ш(ЛМ)<Л1||Л|р.
Комбинируя этн две оценки, получаем
|ш(Л)|^МИ||,
т. е. со — непрерывный функционал и || со || < М. Но М <! || со ||, поскольку || ?а [|^ 1; значит, || со || = М = lirne со (f^). В данном случае также || со || = = lima со (Е^ Нгпа со ^ || со ||, потому что Е^ ^ Еа. Итак, || со || = = lima со (Еа), т. е. установлено второе равенство в г).
(2) => (1). Можно предположить, что || со || = 1. Если Щ. имеет единицу 11, то
II f- Щ <1111 - II + II* - Е* II ||?а II,
так что lima = 11. Следовательно, со (Ю = 1. Если St единицы не имеет, то присоединим ее и расширим со до функционала со на 5t = СИ +31 по формуле
со (ЯП А) = Я —f- со (Л).
Так как А — АЕ1= (А — АЕа) + (А — АЕа) Еа, то lima АЕ^ = А. Пользуясь
2.3. Представления и состояния
59
определением нормы в 31 (предложение 2.1.5), получаем
I ® (М + А) | = | К + to (Л) J = Пт | Хш (El) + ш (АЕ\) |
lim sup || %Е% + АЕ2а || ^ || М + А [|.
Значит, без ограничения общности можно считать, что 31 содержит единицу и
со (А) = 1 = || со ||.
Теперь покажем,' что на элементах А = А * значения ш (А) вещественны. Пусть
to (А) = a -f *Р, а, р ? R.
Для всякого вещественного у
ш (А + «711) = а + i (Р + 7).
Элемент A -f (711 нормален, и его спектр содержится в
аИ) + ;7<=[-М|!, И111 + /7.
Поэтому
|| А + /т11| = р (А + i71) = /1| А ||2 + 72.
Поскольку | со (A -f )| > I Р + 7 |. т0
IP + 7l^ J/'lMf + T2
для любого 7 ? R. Но тем самым Р = 0, т. е. со {А) вещественно.
Наконец,
4.*I 1
||Л|р I
для любого A ? 31 по лемме 2.2.9. Следовательно,
<1.
ш ММ)
со (11) — v ’
\А ||2
Но со (И) = 1 и (о (А*А) вещественно, так что с необходимостью
со (А*А) » 0.
Таким образом, положительность ш установлена.
В заключение укажем, что для проверки а) и б) надо применить лемму 2.3.10 к А и Еа и затем перейти к пределу по а. В силу той же леммы,
