Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
р (Л) = (РЙЮ, я(0 (Л) йю).
Он, разумеется, положителен, так как
р (ЛМ) = (Ряи (Л) Й(0, Ряй (Л) QJ > 0.
К тому же
со (А*А) - р (А*А) = (яю (Л) Й0„ (И - Р) яш (Л) flm) 0,
т. е. со мажорирует р. Легка проверить, что р не кратен со, значит, (2) нарушается.
Тем самым проверена эквивалентность первых двух условий и установлено соответствие, о котором идет речь в последнем утверждении теоремы. Эквивалентность условий (2) и (3) уже содержится в теореме 2.3.15.
Из приведенной характеризации чистых состояний вытекают два полезных следствия.
Следствие 2.3.20. Пусть со —состояние на С*-алгебре 91 без единицы, и пусть со — его каноническое продолжение на 91 = = СИ + 91. Чистым состоянием со будет тогда и только тогда, когда со — чистое состояние на 91.
Доказательство. Если (§ш, яш, й^) — циклическое представление, ассоциированное с со, и 11 ш обозначает единичный оператор в то можно без
труда получить представление, ассоциированное с ®, а именно взяв
2.3. Представления и состояния
67
и яе (ЯП + Л) = Я1и -f- (Л). Оба представления одновременно
приводимы или неприводимы, следовательно, оба состояния будут чистыми одновременно.
Следствие 2.3.21. Состояние со на абелевой С*-алгебре 51 является чистым тогда и только тогда, когда со (АВ) = со (А) со (В) для всех Л, В ? 9I.
Доказательство. Критерием чистоты со является неприводимость ассоциированного представления. Но яи (St) s яи (St)', так как St абелева, поэтому (§и> лю) тогда и только тогда неприводимо, когда одномерно. Это имеет место в том и только том случае, когда состояние со обладает мультипликативным свойством, указанным в следствии.
2.3.4. Существование представлений
Продолжая рассмотрение представлений, мы докажем, что существуют нетривиальные представления, и выведем основную структурную теорему—теорему 2.1.10, анонсированную в разделе 2.1. Доказательство использует свойства выпуклости, компактности и пр., которые уже установлены для состояний С*-алгебры, но главным его ингредиентом является теорема Хана—¦ Банаха.
Теорема 2.3.22А (теорема Хана—Банаха). Пусть Y—подпространство нормированного линейного пространства X. Всякий ограниченный линейный функционал f на Y обладает ограниченным линейным продолжением F на X, таким что || F || = |[ /1|.
В разделе 2.4 и в следующих главах нам понадобится обобщение этой теоремы для пространств с локально-выпуклой топологией, определяемой семейством полунорм. Существование состояний С*-алгебр вытекает, однако, из приведенной теоремы 2.3.22А.
Начнем с результата, относящегося к состояниям со специальными свойствами.
Лемма 2.3.23. Пусть А —произвольный элемент С*-алгебры 91. На 91 существует такое чистое состояние со, что
со (А*А) = II А II2,
и, следовательно, имеется такое неприводимое представление (%>, я, Q), что
II л (Л) НИ 11-
Доказательство. Присоединив, если необходимо, единицу, рассмотрим на подпространстве SB нашей алгебры, состоящем из элементов вида
а1 +РЛ*Л; а, Рб С,
функционал /, задаваемый соотношением
/(а1 + рЛМ)=а + р||Лр
68
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
Формула для спектрального радиуса нормального элемента аЦ + РЛМ дает
|а + РИ1РК sup { |а + РЯ |; Я<=0(ЛМ)} = ||cd + f,A*A ||,
так что ||/||^ 1. Но / (11) = 1, следовательно, ||/||= 1 = / (И). Применим теорему 2.3.22А, выбрав X = St, Y = 33. Пусть со — соответствующее линейное продолжение /; тогда || to || = 1 = f (И), так что со — состояние, согласно предложению 2.3.11. Но со (Л*А) = / (А*А) — || Л [|2. Обозначим через Ед множество тех состояний со, для которых со (А*А) = || А ||2. Это — непустое выпуклое слабо* замкнутое, а потому слабо* компактное подмножество во множестве ?щ
всех состояний St. Следовательно, ЕА обладает крайними точками по теореме Крейна — Мильмана. Возьмем такую крайнюю точку со и предположим, что со = Ясох + (1 — Я) со, при некотором 0 < Я < 1, где coj и со2 — пара состояний St. Имеем|со,-(Л*Л)| <||Л||2 и ||Л|р = Ясо! (А*А) + (1 — Я) со2 (А*А). Последнее возможно только в том случае, если сох (А*А) = со2 (А*А) = || A J|2, т. е. C0j, со2 6 Еа- Так как со — крайняя точка множества то coj = со2 = со.
Таким образом, со является крайней точкой Ед, и, в силу теоремы 2.3.19, & — чистое состояние St. Этим завершается доказательство первого утверждения леммы; второе следует из соотношений
Р А р = со (А*А) = || яа (А) Ош Ц* < || ям (A) f < || А р;
здесь (§)а, ям, Йа) — циклическое представление, ассоциированное с со, а последнее неравенство вытекает из леммы 2.3.1.
Теперь мы можем доказать основную структурную теорему. Напомним, что эта теорема (теорема 2.1.10) гласит:
Всякая С*-алгебра 91 изоморфна некоторой замкнутой по норме самосопряженной алгебре ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.
