Операторные алгебры и квантовая статистическая механика - Браттели У.
Скачать (прямая ссылка):
Для представления (ф, я) С*-алгебры 91 и кардинального числа п символом пл обозначим представление 11 91 в пространстве п$ = = 02=1$, задаваемое формулой
В лемме 2.4.12 мы доказали, что (пл (91))" и я (91)" изоморфны, причем соответствующий изоморфизм является продолжением отображения пл (А) л (А), А ? 91.
Следующая теорема показывает среди прочего, что квазиэквивалентность представлений — это то же самое, что их унитарная эквивалентность с точностью до кратности.
Теорема 2.4.26. Пусть (?lt лх) и (.?>2, ¦ л„)—невырожденные представления С*-алгебры 91. Следующие условия равносильны.
(1) определен такой изоморфизм т: ях (91)" t—^ я2 (91)", что т (ях (А)) = л2 (А) для всех А ? 91;
(2) ях яа, т. е. ненормальные и л2-нормальные состояния совпадают-,
Х) Представление пл (и всякое ~ пл) называется кратным представления л. — Прим. перев.
га (А) = р (л (А))
2.4. Алгебры фон Неймана
89
(3) существуют такие кардинальные числа пит, проекторы.
Е{ ? пщ (Ж)', Е'2 ? /ля, (Ж)' w унитарные операторы ?/х: §ii—> i—э- Е’ч (m?>2), §2 |—*¦ (n§i). что для всех А ? 91
(A) U* = тя2 (Л) Е'ъ
?/2л2 (A) U 2 = мпл (Л) ?|;
(4) существует такое кардинальное число k, что kn± ^ ?я2, т. е. ях и л2 унитарно эквивалентны с точностью до кратности.
Замечание. В этой теореме по сути дела содержатся две разные идеи; одна заключается в эквивалентности (1) (2) и связана
с самими представлениями ях и я2, а другая состоит в эквивалентности (1) (3) -?=>- (4) и связана со структурой изоморфизмов
между алгебрами фон Неймана, в частности с вопросом об унитарной выполнимости изоморфизмов. Например, если представления ях и я2 неприводимы и квазиэквивалентны, то изоморфизм т унитарно выполним, так что я: и я2 унитарно эквивалентны.
Аналогично, если обе алгебры ях (21)" и я2 (ЗД)" обладают цикли-
ческим и отделяющим вектором, то изоморфизм т унитарно выполним, согласно следствию 2.5.32, так что ях и л2 унитарно эквивалентны.
Доказательство. (1) => (2) сразу следует из теоремы 2.4.23.
(2) => (3). Как показывает предложение 2.3.6, ях является прямой суммой циклических представлений, т. е. можно найти в множество {|а} единичных векторов, таких что [лх (St) ?«] взаимно ортогональны и 2а [ях (St) |а ] = Ц. Пусть
Wa (Л) = (|a, Jtj (Л) |a), Л ? Щ,
обозначает состояние, отвечающее |а. По предположению, соа при любом а я2-нормально. Значит, по теореме 2.4.21, существует такая последовательность векторов {т)а_„} в §2, что 2,г |J r|cc> „ J|2 = 1 и
ыа (^) = ? ("Па, (^) Ла, п) = (Ла> (А) Ла)
п
для всех А ? St, где Ла^ФпЛа, п € К0§2- Следовательно, по теореме 2.3.16, существует такой унитарный оператор Ua: [ях (St) ?a]i—> [К0Я2 (St) Ла], что
иал1 (А) Ua = (А) [ V2 W "Па.]-
Если k обозначает мощность {а}, то можно построить изометрию =
из §! — Фа [ях (St) lal в == Фа (Ко§г) с областью значений
Ф [V2 WTla] = ^2(© (K„©a)),
a a
причем
t/xJij (A) U\ = &К0я2 (A) E'2.
Тем самым проверена первая часть условия (3); вторая получается переменой ролей ях и я2.
2. С*-алгебры и алгебры фон Неймана
(3) =>-(4). Можно выбрать п и т в (3) бесконечными, тогда для k = = sup {n, m} имеем kn = km = k. Из (3) выводим, что кщ унитарно эквивалентно некоторому подпредставлению представления /л?я2 = kn2, а ?яа унитарно эквивалентно подпредставлению представления nk ях = кпг. Теорема Кантора — Бернштейна позволяет заключить, что кщ и kn2 унитарно эквивалентны.
(4) => (1) немедленно вытекает из леммы 2.4.12.
Состояние со на С*-алгебре 1 называется примарным (или факторным), если (21)" — фактор, где ла — ассоциированное с ©циклическое представление. Два состояния ©j и называются квазиэквивалентными, если и лШг квазиэквивалентны (в случае абелевой алгебры 21 это равносильно эквивалентности вероятностных мер, соответствующих со1 и со2). Следующее предложение полезно в случае квазилокальных алгебр (см. раздел 2.6).
Предложение 2.4.27. Пусть щи со2 — факторные состояния С*-алгебры 21. Они квазиэквивалентны в том и только том случае,
когда состояние -~(&1 + со2) факторное.
Доказательство. Рассмотрим циклические представления (§?, я/, Qi), отвечающие со,-, и введем ф = © ф2, Q = (1/1^2) (flj ф fi2), я = ях ф я2 и со =
— -у- (Ш1 + “г)- Для Л ? SI имеем со (Л) = (Q, я (Л) Q), т. е. (фш, яю, Qw)
можно отождествить с подпредставлением представления (§, я), определенным проектором Е' = [я (§1) Q] ? я (St)'.
Допустим сперва, что ях и я2 квазиэквивалентны. По теореме 2.4.26 существует такой изоморфизм т: ях (St)"i—^я2 (St)", что т (ях (Л)) = я2 (Л). Так как всякий элемент из я (St)" является a-слабым пределом элементов вида Я! (Л) ф ф я2 (Л) = я j (Л) ф х (% (Л)), а изоморфизм х a-слабо непрерывен, то Л i—> I—> Л ф т (Л) устанавливает изоморфизм ях (St)" и я (St)". Следовательно, я (St)" — фактор. Но Л I—>АЕ' является a-слабо* непрерывным гомоморфизмом я (St)" на яю (St)", а я (St)" не имеет нетривиальных сг-слабо замкнутых идеалов, по предложению 2.4.22. Таким образом, алгебра яш (Щ)" изоморфна я (St)", т. е. яю (St)" — фактор.
